《七年级下册数学思维导图》

一、第五章：相交线与平行线

1. 相交线

• 定义与概念:

  • 邻补角：定义、性质（互补）
  • 对顶角：定义、性质（相等）
  • 垂线：定义、垂足、性质（垂线段最短）
  • 点到直线的距离：定义、意义

• 角的表示方法:

  • 用三个大写字母（顶点位于中间）
  • 用一个大写字母（顶点处只有一个角）
  • 用数字（例如∠1）
  • 用希腊字母（例如∠α）

• 角的度量:

  • 度、分、秒的换算（60进制）

• 角的运算:

  • 角的加减
  • 角的倍分

• 重要结论:

  • 两条直线相交，只有一个交点。
  • 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

2. 平行线

• 定义与表示:

  • 定义：在同一平面内，不相交的两条直线。
  • 表示方法：a∥b

• 平行公理及其推论:

  • 公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
  • 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

• 平行线的判定:

  • 同位角相等，两直线平行。
  • 内错角相等，两直线平行。
  • 同旁内角互补，两直线平行。

• 平行线的性质:

  • 两直线平行，同位角相等。
  • 两直线平行，内错角相等。
  • 两直线平行，同旁内角互补。

• 平移:

  • 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
  • 性质：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。
  • 平移的要素：平移的方向和平移的距离。
  • 对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等。

3. 综合运用

• 证明线段平行或垂直。
• 利用平行线性质求解角度问题。
• 利用平移解决实际问题。

二、第六章：实数

1. 平方根

• 算术平方根:

  • 定义：如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
  • 表示：√a (a≥0)
  • 性质：非负性(√a≥0)。

• 平方根:

  • 定义：如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫做a的平方根。
  • 表示：±√a (a≥0)
  • 性质：正数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

• 求平方根的方法:

  • 直接开方法
  • 估算方法

2. 立方根

• 定义:

  • 定义：如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x叫做a的立方根。
  • 表示：³√a
  • 性质：任何数都有唯一的立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

• 求立方根的方法:

  • 直接开方法
  • 估算方法

3. 实数

• 定义:

  • 有理数和无理数统称为实数。

• 分类:

  • 按定义分：实数分为有理数和无理数。
  • 按正负分：实数分为正实数、零和负实数。

• 实数与数轴:

  • 实数与数轴上的点一一对应。

• 无理数:

  • 定义：无限不循环小数叫做无理数。
  • 常见的无理数：π、无限不循环小数（例如：√2，∛3等）

• 实数的大小比较:

  • 数轴上右边的数总比左边的数大。
  • 正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。
  • 两个负数，绝对值大的反而小。

• 实数的运算:

  • 运算法则和运算律与有理数相同。

4. 综合运用

• 实数的简单运算。
• 利用实数的性质解决问题。
• 判断一个数是有理数还是无理数。
• 估算无理数的大小。

三、第七章：平面直角坐标系

1. 有序数对

• 定义:

  • 有顺序的两个数组成的数对叫做有序数对，记作(a,b)。

• 意义:

  • 确定平面内点的位置。

• 应用:

  • 在电影院中确定座位。
  • 在地图上确定位置。

2. 平面直角坐标系

• 组成:

  • 两条互相垂直且有公共原点的数轴组成，水平的数轴叫做x轴或横轴，竖直的数轴叫做y轴或纵轴，两条坐标轴的交点O叫做坐标原点。

• 坐标轴:

  • x轴、y轴。

• 象限:

  • 第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

• 坐标的表示:

  • 点P的坐标记作(x,y)，其中x表示点P的横坐标，y表示点P的纵坐标。

• 特殊位置点的坐标:

  • 坐标原点(0,0)。
  • x轴上的点(x,0)。
  • y轴上的点(0,y)。

• 各象限点的坐标特征:

  • 第一象限：x>0，y>0
  • 第二象限：x<0，y>0
  • 第三象限：x<0，y<0
  • 第四象限：x>0，y<0

3. 坐标的应用

• 由坐标描点:

  • 在平面直角坐标系中，根据点的坐标描出该点的位置。

• 由点求坐标:

  • 在平面直角坐标系中，根据点的位置写出该点的坐标。

• 图形的平移:

  • 点(x,y)向右平移a个单位，坐标变为(x+a,y)。
  • 点(x,y)向左平移a个单位，坐标变为(x-a,y)。
  • 点(x,y)向上平移a个单位，坐标变为(x,y+a)。
  • 点(x,y)向下平移a个单位，坐标变为(x,y-a)。

• 轴对称:

  • 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)。
  • 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)。
  • 点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y)。

4. 综合运用

• 利用坐标系解决实际问题。
• 绘制简单的平面图形。
• 理解坐标变化与图形变换的关系。

四、第八章：二元一次方程组

1. 二元一次方程

• 定义:

  • 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

• 一般形式:

  • ax+by=c (其中a、b、c是常数，且a、b不同时为0)

• 解:

  • 使二元一次方程两边相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

2. 二元一次方程组

• 定义:

  • 由两个含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

• 解:

  • 使二元一次方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

3. 解二元一次方程组

• 代入消元法:

  • 步骤：
    1. 选择一个系数比较简单的方程，将其中一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来。
    2. 将这个代数式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
    3. 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
    4. 将求出的未知数的值代入方程(1)，求出另一个未知数的值。
    5. 写出方程组的解。

• 加减消元法:

  • 步骤：
    1. 将两个方程中的某一个未知数的系数变成互为相反数或相等。
    2. 将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
    3. 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
    4. 将求出的未知数的值代入原方程组中的一个方程，求出另一个未知数的值。
    5. 写出方程组的解。

4. 二元一次方程组的应用

• 列方程组解应用题的步骤:

  1. 审题：理解题意，弄清问题中的已知条件和所求问题。
  2. 设未知数：根据题意，设适当的未知数，注意单位。
  3. 列方程组：根据题中的等量关系，列出方程组。
  4. 解方程组：解所列的方程组，求出未知数的值。
  5. 检验：检验所求的解是否符合题意，是否合理。
  6. 答：写出答案，注意单位。

• 常见的应用题类型:

  • 行程问题。
  • 工程问题。
  • 销售问题。
  • 分配问题。
  • 浓度问题。

5. 综合运用

• 灵活运用代入消元法和加减消元法解方程组。
• 分析问题中的等量关系，列出正确的方程组。
• 对解进行检验，确保答案的合理性。

五、第九章：不等式与不等式组

1. 不等式

• 定义:

  • 用不等号连接起来的式子叫做不等式。

• 不等号:

  • (大于)、< (小于)、≥ (大于等于)、≤ (小于等于)、≠ (不等于)

• 不等式的性质:

  • 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
  • 不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
  • 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

• 不等式的解:

  • 使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

• 不等式的解集:

  • 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

• 在数轴上表示不等式的解集:

  • 用空心圈表示不包含端点的值。
  • 用实心点表示包含端点的值。

2. 一元一次不等式

• 定义:

  • 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

• 解一元一次不等式:

  • 类似于解一元一次方程，但要注意不等式两边乘以或除以负数时，不等号的方向要改变。

3. 一元一次不等式组

• 定义:

  • 由几个同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

• 解集:

  • 不等式组中所有不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。

• 求不等式组解集的方法:

  • 分别求出每个不等式的解集。
  • 在数轴上表示出每个不等式的解集。
  • 找出所有不等式解集的公共部分。

• 常见类型的不等式组及其解集:

  • x>a，x>b (a<b)，解集为x>b
  • x<a，x<b (a<b)，解集为x<a
  • x>a，x<b (a<b)，解集为a<x<b
  • x>a，x<b (a>b)，无解

4. 不等式的应用

• 列不等式(组)解应用题的步骤:

  1. 审题：理解题意，弄清问题中的已知条件和所求问题。
  2. 设未知数：根据题意，设适当的未知数，注意单位。
  3. 列不等式(组)：根据题中的不等关系，列出不等式(组)。
  4. 解不等式(组)：解所列的不等式(组)，求出未知数的取值范围。
  5. 检验：检验所求的解是否符合题意，是否合理。
  6. 答：写出答案，注意单位。

• 常见的应用题类型:

  • 方案选择问题。
  • 分配问题。
  • 行程问题。

5. 综合运用

• 利用不等式的性质进行推导。
• 理解不等式与方程的区别与联系。
• 用不等式解决实际问题，并注意解的实际意义。

上一个主题： 西游记思维导图 下一个主题： 八年级物理第7章思维导图