《思维导图小数乘除法》

一、小数乘法

1.1 意义

• 1. 求几个相同加数的和的简便运算。
• 2. 求一个数的几分之几是多少。
     • 例如：1.5 × 3 表示 1.5 的 3 倍是多少。
     • 例如：1.5 × 0.8 表示 1.5 的 0.8 倍是多少。

1.2 计算方法

• 1. 转化：将小数乘法转化为整数乘法。
• 2. 计算：按照整数乘法的法则进行计算。
• 3. 确定小数点位置：看因数中一共有几位小数，就从积的右边数出几位，点上小数点。
     • 不足位数，用 0 补足。
• 4. 化简：积的小数部分末尾有 0 的，要去掉末尾的 0。

1.3 积与因数的大小关系

• 1. 一个数（0 除外）乘大于 1 的数，积比原来的数大。
     • 例如：1.2 × 1.5 > 1.2
• 2. 一个数（0 除外）乘小于 1 的数，积比原来的数小。
     • 例如：1.2 × 0.8 < 1.2
• 3. 一个数（0 除外）乘等于 1 的数，积等于原来的数。
     • 例如：1.2 × 1 = 1.2

1.4 简便计算

• 1. 乘法交换律：a × b = b × a
• 2. 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
• 3. 乘法分配律：(a + b) × c = a × c + b × c
     • (a - b) × c = a × c - b × c
• 4. 特殊乘法：2.5 × 0.4 = 1; 1.25 × 0.8 = 1

1.5 估算

• 1. 将小数四舍五入取近似数。
• 2. 用近似数进行计算。

1.6 应用题

• 1. 单价 × 数量 = 总价
• 2. 速度 × 时间 = 路程
• 3. 工作效率 × 工作时间 = 工作总量

二、小数除法

2.1 意义

• 1. 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
• 2. 一个数是另一个数的几倍或几分之几。
     • 例如：4.5 ÷ 1.5 表示 4.5 里面有几个 1.5。
     • 例如：4.5 ÷ 1.5 也可以表示 4.5 是 1.5 的几倍。

2.2 计算方法

2.2.1 除数是整数的小数除法

• 1. 按照整数除法的法则进行计算。
• 2. 商的小数点要与被除数的小数点对齐。
• 3. 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添 0 继续除。

2.2.2 除数是小数的小数除法

• 1. 转化：将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法。
• 2. 移动：移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用 0 补足）。
• 3. 计算：按照除数是整数的小数除法的法则进行计算。

2.3 商的变化规律

• 1. 被除数不变，除数扩大，商反而缩小。
• 2. 被除数不变，除数缩小，商反而扩大。
• 3. 除数不变，被除数扩大，商也扩大。
• 4. 除数不变，被除数缩小，商也缩小。
• 5. 被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0 除外），商不变。

2.4 商的近似数

• 1. 保留几位小数，就除到比需要保留的位数多一位。
• 2. 四舍五入法：看要保留的位数的后一位，按“四舍五入”的原则取舍。

2.5 循环小数

• 1. 定义：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
• 2. 循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。
• 3. 写法：可以只写第一个循环节，然后在循环节的首位和末位各点一个圆点。
     • 例如：5.333… 写作 5.3̇
     • 例如：1.2323… 写作 1.23̇
• 4. 分类：
     • 纯循环小数：循环节从小数部分的第一位开始的循环小数。
     • 混循环小数：循环节不是从小数部分的第一位开始的循环小数。
• 5. 有限小数和无限小数：
     • 小数部分是有限的，叫做有限小数。
     • 小数部分是无限的，叫做无限小数。
     • 循环小数是无限小数。

2.6 应用题

• 1. 单价 × 数量 = 总价 => 总价 ÷ 数量 = 单价； 总价 ÷ 单价 = 数量
• 2. 速度 × 时间 = 路程 => 路程 ÷ 时间 = 速度； 路程 ÷ 速度 = 时间
• 3. 工作效率 × 工作时间 = 工作总量 => 工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效率； 工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间

2.7 解决问题

• 1. 分析题意，找出已知条件和所求问题。
• 2. 列式计算，注意单位名称。
• 3. 检验答案是否合理。
• 4. 进一法：实际问题中，取近似数时，无论小数点后一位是多少，都要向前进一位。
• 5. 去尾法：实际问题中，取近似数时，无论小数点后一位是多少，都要舍去。

三、综合应用

• 1. 混合运算：先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的。
• 2. 用计算器进行计算。
• 3. 解决实际问题：根据实际情况灵活选择计算方法和策略。

四、易错点

• 1. 计算过程中小数点位置的移动和确定。
• 2. 循环小数的表示方法和读法。
• 3. 简便计算中对运算定律的灵活运用。
• 4. 实际问题中，进一法和去尾法的正确应用。
• 5. 单位换算错误导致计算结果错误。
• 6. 忘记验算。

五、练习题类型总结

• 1. 直接计算题：熟练掌握小数乘除法的计算法则。
• 2. 简便计算题：灵活运用运算定律进行简便计算。
• 3. 估算题：培养估算意识和能力。
• 4. 判断题：考察对概念的理解。
• 5. 选择题：综合考察各种知识点。
• 6. 填空题：巩固基础知识。
• 7. 应用题：解决实际问题，培养应用能力。

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