《四年级数学除法思维导图》
一、除法概念与意义
1.1 除法的基本概念
- 定义： 将一个数平均分成若干份，求每一份是多少，或者求一个数里包含几个另一个数的运算。
- 除法算式： a ÷ b = c (a是被除数，b是除数，c是商)
- 读法： a 除以 b 等于 c
- 符号： ÷ (除号)
1.2 除法的意义
- 平均分： 例如，将12个苹果平均分给4个小朋友，每个小朋友分到多少个苹果？(12 ÷ 4 = 3)
- 包含除： 例如，20元可以买几个5元的冰淇淋？(20 ÷ 5 = 4)
- 已知总量和份数，求每份量： 例如，一条公路长100米，平均分成5段，每段长多少米？(100 ÷ 5 = 20)
- 已知总量和每份量，求份数： 例如，有30本书，每人分3本，可以分给几个人？(30 ÷ 3 = 10)
1.3 除法与乘法的关系
- 互逆运算： 除法是乘法的逆运算，反之亦然。
- 验算方法： 商 × 除数 = 被除数 (无余数) 或 商 × 除数 + 余数 = 被除数 (有余数)
二、除法的计算方法
2.1 口算除法
- 整十、整百数除以一位数： 重点掌握除数是一位数，被除数是整十、整百数的口算方法，例如：60 ÷ 3 = 20, 800 ÷ 2 = 400。
- 利用乘法口诀： 运用乘法口诀求商，例如：28 ÷ 4 = 7 (因为 4 × 7 = 28)。
- 估算： 将被除数估算成接近的整十、整百数进行计算。
2.2 笔算除法
- 基本步骤：
- 试商： 确定商的位置，从被除数最高位开始。
- 计算： 用商乘以除数。
- 相减： 用被除数减去商和除数的积。
- 余数： 比较余数和除数的大小，余数必须小于除数。
- 拉下来： 将被除数的下一位拉下来，继续计算。
- 除数是一位数的笔算除法： 熟练掌握除数是一位数的除法竖式计算。
- 除数是两位数的笔算除法：
- 估商： 将除数看作接近的整十数进行估算，例如：28看作30。
- 调整商： 估算的商可能偏大或偏小，需要进行调整，例如：初商过大，调小；初商过小，调大。
- 余数： 保证每次相减后的余数小于除数。
- 商中间或末尾有0的除法：
- 商中间有0： 当某一位不够商1时，在该位商0。
- 商末尾有0： 当被除数的末尾是0，且前面的数正好除尽时，在商的末尾添0。
2.3 试商方法总结
- 同头无除商八九： 当除数和被除数的前一位相同，且前一位不够除时，商8或9。
- 除数折半商五六： 当除数接近被除数的一半时，商5或6。
- 尾数估算法： 结合乘法口诀，根据除数和被除数的个位数来确定商。
三、余数
3.1 余数的概念
- 定义： 在整数的除法中，如果除不尽，剩下的数叫做余数。
- 余数和除数的关系： 余数必须小于除数。
3.2 有余数的除法
- 算式： a ÷ b = c … r (a是被除数，b是除数，c是商，r是余数)
- 意义： 表示a里面最多有c个b，还剩下r。
- 验算方法： 商 × 除数 + 余数 = 被除数
3.3 余数的应用
- 周期问题： 例如，按红、黄、蓝的顺序排列彩旗，第20面是什么颜色？(20 ÷ 3 = 6 … 2，余数是2，所以是黄色)
- 分组问题： 例如，有25个苹果，每4个装一袋，可以装几袋，还剩几个？(25 ÷ 4 = 6 … 1，可以装6袋，还剩1个)
四、除法的性质与规律
4.1 商不变的性质
- 内容： 被除数和除数同时乘以或除以相同的数（0除外），商不变。
- 表达式： (a × n) ÷ (b × n) = a ÷ b (n ≠ 0) (a ÷ n) ÷ (b ÷ n) = a ÷ b (n ≠ 0)
- 应用： 简化计算，例如：400 ÷ 25 = (400 × 4) ÷ (25 × 4) = 1600 ÷ 100 = 16
4.2 除法中的变化规律
- 被除数不变，除数扩大(缩小)若干倍，商反而缩小(扩大)相同的倍数。
- 除数不变，被除数扩大(缩小)若干倍，商也扩大(缩小)相同的倍数。
五、解决问题
5.1 解决实际问题
- 审题： 认真阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。
- 分析： 分析数量关系，确定用除法解决的问题。
- 列式计算： 正确列出算式，进行计算。
- 检验： 验算计算结果，检查是否符合题意。
- 答题： 写出完整的答案。
5.2 常见类型
- 平均分问题： 将一个数量平均分成几份，求每份是多少。
- 包含除问题： 求一个数量里包含几个另一个数量。
- 单价、数量、总价问题： 总价 ÷ 数量 = 单价，总价 ÷ 单价 = 数量
- 行程问题： 路程 ÷ 时间 = 速度，路程 ÷ 速度 = 时间
六、易错点及注意事项
6.1 余数问题
- 忘记写余数： 在笔算除法中，容易忘记写余数。
- 余数大于除数： 计算错误，余数必须小于除数。
- 忽略余数的意义： 在解决实际问题时，要结合实际情况理解余数的意义。
6.2 笔算除法
- 商的位置错误： 商要写在对应的数位上。
- 试商不准确： 估商时要灵活运用估算方法，并及时调整。
- 抄错数字： 计算过程中要注意核对数字，避免抄错。
- 忘记拉下来： 特别是当某一位不够商1时，容易忘记拉下来。
6.3 应用题
- 不理解题意： 审题不仔细，导致列式错误。
- 单位不统一： 注意统一单位，才能进行计算。
- 计算错误： 认真计算，避免计算错误。
- 答题不完整： 忘记写单位名称，或者没有完整回答问题。
七、总结
掌握除法的基本概念、计算方法、性质规律以及解决实际问题的能力，是小学数学学习的重要组成部分。通过不断练习和总结，可以提高除法的计算能力和应用能力。