《六年级下册第三单元思维导图》

一、单元概述

• 主题: 比例
• 核心概念:
  • 比例的意义和基本性质
  • 正比例和反比例的意义
  • 比例尺
  • 解比例
• 学习目标:
  • 理解比例的意义和基本性质。
  • 认识正比例和反比例，能够判断两种量是否成正比例或反比例。
  • 了解比例尺的含义，能够运用比例尺解决简单的实际问题。
  • 掌握解比例的方法，能够运用比例解决实际问题。
  • 培养分析问题、解决问题的能力。
• 学习方法:
  • 概念理解与辨析
  • 公式推导与应用
  • 实际问题建模
  • 类比与归纳

二、比例的意义和基本性质

2.1 比例的意义

• 定义: 表示两个比相等的式子叫做比例。
  • 例如：2:3 = 4:6
• 构成:
  • 四个项：内项、外项
    • 例如：2:3 = 4:6 (3和4是内项，2和6是外项)
• 表达形式:
  • a:b = c:d (b和d不能为0)
  • $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (b和d不能为0)
• 判断方法:
  • 看两个比的比值是否相等。

2.2 比例的基本性质

• 内容: 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
  • 如果a:b = c:d，那么ad = bc (b和d不能为0)
  • 如果$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$，那么ad = bc (b和d不能为0)
• 应用:
  • 判断两个比能否组成比例。
  • 解比例。
  • 比例的变形。
    • 如果ad = bc (a, b, c, d 都不为0)，那么可以写出以下比例：
      • a:b = c:d
      • a:c = b:d
      • d:c = b:a
      • d:b = c:a

三、正比例和反比例

3.1 正比例

• 定义: 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
• 表达式:
  • $\frac{y}{x} = k$ (k为定值，且不等于0) 或者 y = kx (k为定值，且不等于0)
• 特征:
  • 两种量必须是相关联的。
  • 一种量变化，另一种量也随着变化。
  • 相对应的两个数的比值一定。
• 例子:
  • 单价一定，总价和数量成正比例。
  • 速度一定，路程和时间成正比例。
• 图像:
  • 正比例关系的图像是一条经过原点的直线。

3.2 反比例

• 定义: 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
• 表达式:
  • $x \times y = k$ (k为定值，且不等于0) 或者 y = $\frac{k}{x}$ (k为定值，且不等于0)
• 特征:
  • 两种量必须是相关联的。
  • 一种量变化，另一种量也随着变化。
  • 相对应的两个数的积一定。
• 例子:
  • 路程一定，速度和时间成反比例。
  • 总价一定，单价和数量成反比例。
• 图像:
  • 反比例关系的图像是一条曲线 (双曲线的一支)。

3.3 正比例与反比例的比较

四、比例尺

4.1 定义

• 定义: 图上距离和实际距离的比，叫做比例尺。
• 公式: 比例尺 = $\frac{图上距离}{实际距离}$
• 类型:
  • 数值比例尺：例如 1:100000，$\frac{1}{100000}$
  • 线段比例尺：在图上画一条线段，标明它代表实际距离多少。
• 单位:
  • 图上距离和实际距离的单位要统一。通常将实际距离换算成与图上距离单位相同的单位后再进行计算。
• 比例尺的放大与缩小:
  • 比例尺大于1，表示放大。 例如：10:1
  • 比例尺小于1，表示缩小。 例如：1:100

4.2 应用

• 已知比例尺和实际距离，求图上距离: 图上距离 = 实际距离 × 比例尺
• 已知比例尺和图上距离，求实际距离: 实际距离 = $\frac{图上距离}{比例尺}$
• 已知图上距离和实际距离，求比例尺: 比例尺 = $\frac{图上距离}{实际距离}$ (注意单位统一)
• 解决实际问题:
  • 地图上的距离计算。
  • 工程图纸的绘制和解读。
  • 模型制作。

五、解比例

5.1 定义

• 定义: 根据比例的基本性质，求比例中的未知项的过程叫做解比例。

5.2 方法

• 根据比例的基本性质: 将比例式转化成等积式（ad = bc），然后解方程。
• 步骤:
  1. 写出比例式。
  2. 根据比例的基本性质，将比例式转化成等积式。
  3. 解方程，求出未知数的值。
• 注意:
  • 在解比例之前，要检查比例式是否正确。
  • 解完比例后，要进行检验，看求出的未知数的值是否符合题意。

5.3 应用

• 解决实际问题: 运用比例解决生活中各种比例问题，例如：按比例分配问题、工程问题、行程问题等。

六、综合应用

• 实际问题建模: 将实际问题转化为比例关系，运用比例的知识进行求解。
• 多步骤问题: 灵活运用比例、正比例、反比例和比例尺等知识，解决较为复杂的问题。
• 拓展应用: 尝试运用比例知识解决一些创新性的问题。