《七年级数学第一单元和第二单元思维导图》
一、第一单元：有理数
1.1 有理数的概念
- 思维导图节点： 有理数
- 子节点： 定义：整数和分数的统称
- 子节点： 分类：
- 孙节点： 按定义分
- 曾孙节点： 正有理数
- 曾孙节点： 0
- 曾孙节点： 负有理数
- 孙节点： 按性质分
- 曾孙节点： 整数
- 玄孙节点： 正整数
- 玄孙节点： 0
- 玄孙节点： 负整数
- 曾孙节点： 分数
- 玄孙节点： 正分数
- 玄孙节点： 负分数
- 曾孙节点： 整数
- 孙节点： 按定义分
- 子节点： 注意事项：
- 孙节点： 0既不是正数也不是负数
- 孙节点： π（圆周率）是无理数
- 孙节点： 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，属于有理数。
- 孙节点： 无限不循环小数是无理数。
1.2 数轴
- 思维导图节点： 数轴
- 子节点： 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线
- 子节点： 三要素：
- 孙节点： 原点
- 孙节点： 正方向
- 孙节点： 单位长度
- 子节点： 特点：
- 孙节点： 数轴上的点与有理数一一对应。
- 孙节点： 原点表示0，原点左侧表示负数，原点右侧表示正数。
- 子节点： 应用：
- 孙节点： 比较大小（右边的数总比左边的数大）
- 孙节点： 表示有理数
- 孙节点： 几何意义（绝对值的几何意义）
1.3 绝对值
- 思维导图节点： 绝对值
- 子节点： 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|
- 子节点： 几何意义：表示数轴上表示数a的点到原点的距离
- 子节点： 代数意义：
- 孙节点： |a| = a (a > 0)
- 孙节点： |a| = 0 (a = 0)
- 孙节点： |a| = -a (a < 0)
- 子节点： 性质：
- 孙节点： 非负性：|a| ≥ 0
- 孙节点： |a| = |-a|
- 子节点： 应用：
- 孙节点： 化简绝对值
- 孙节点： 比较大小
- 孙节点： 求解方程
1.4 有理数的大小比较
- 思维导图节点： 有理数的大小比较
- 子节点： 方法一：数轴法
- 孙节点： 在数轴上表示出各数，右边的数总比左边的数大
- 子节点： 方法二：法则法
- 孙节点： 正数 > 0 > 负数
- 孙节点： 两个负数，绝对值大的反而小
- 子节点： 特殊情况：
- 孙节点： 同号比较大小：都为正数比较数值大小，都为负数比较绝对值大小
- 孙节点： 多个数比较：可分组比较，如正数一组，负数一组。
- 子节点： 方法一：数轴法
1.5 有理数的加法
- 思维导图节点： 有理数的加法
- 子节点： 法则：
- 孙节点： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
- 孙节点： 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
- 孙节点： 一个数同0相加，仍得这个数
- 子节点： 运算律：
- 孙节点： 交换律：a + b = b + a
- 孙节点： 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
- 子节点： 法则：
1.6 有理数的减法
- 思维导图节点： 有理数的减法
- 子节点： 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a - b = a + (-b)
1.7 有理数的乘法
- 思维导图节点： 有理数的乘法
- 子节点： 法则：
- 孙节点： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
- 孙节点： 任何数与0相乘，都得0
- 子节点： 运算律：
- 孙节点： 交换律：a × b = b × a
- 孙节点： 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
- 孙节点： 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
- 子节点： 法则：
1.8 有理数的除法
- 思维导图节点： 有理数的除法
- 子节点： 法则：
- 孙节点： 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即 a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
- 孙节点： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
- 孙节点： 0除以任何一个不等于0的数，都得0
- 子节点： 注意：
- 孙节点： 除法通常转化为乘法运算
- 子节点： 法则：
1.9 有理数的乘方
- 思维导图节点： 有理数的乘方
- 子节点： 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。记作aⁿ，其中a叫做底数，n叫做指数，aⁿ叫做幂。
- 子节点： 注意：
- 孙节点： 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
- 孙节点： 正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0
1.10 科学计数法
- 思维导图节点： 科学计数法
- 子节点： 定义：将一个大于10或小于-10的数表示成a × 10ⁿ的形式，其中1 ≤ |a| < 10，n是整数。
- 子节点： n的确定：n等于原数的整数位数减1。
1.11 近似数和有效数字
- 思维导图节点： 近似数和有效数字
- 子节点： 近似数：通过四舍五入得到的数
- 子节点： 有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止的所有数字。
1.12 有理数的混合运算
- 思维导图节点： 有理数的混合运算
- 子节点： 运算顺序：
- 孙节点： 先乘方，再乘除，最后加减
- 孙节点： 同级运算，从左到右进行
- 孙节点： 有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号依次进行
- 子节点： 运算顺序：
二、第二单元：整式的加减
2.1 用字母表示数
- 思维导图节点： 用字母表示数
- 子节点： 意义：用字母可以表示任意数，使数量关系更具普遍性。
- 子节点： 注意事项：
- 孙节点： 字母可以表示任何数
- 孙节点： 字母与字母相乘时，乘号可以省略不写，或者用“·”代替。
- 孙节点： 数字与字母相乘时，数字应写在字母前面。
- 孙节点： 除法运算要写成分数的形式。
2.2 代数式
- 思维导图节点： 代数式
- 子节点： 定义：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
- 子节点： 注意事项：
- 孙节点： 代数式中不能含有“=”、“>”、“<”、“≤”、“≥”等符号，但是可以含有括号。
- 孙节点： 单独一个数或一个字母也是代数式。
2.3 单项式
- 思维导图节点： 单项式
- 子节点： 定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。
- 子节点： 系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
- 子节点： 次数：单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
- 子节点： 注意事项：
- 孙节点： 单项式的系数包含符号。
- 孙节点： 单项式的次数只与字母的指数有关。
2.4 多项式
- 思维导图节点： 多项式
- 子节点： 定义：几个单项式的和叫做多项式。
- 子节点： 项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项。
- 子节点： 次数：多项式中次数最高的项的次数，叫做多项式的次数。
- 子节点： 常数项：不含字母的项叫做常数项。
2.5 整式
- 思维导图节点： 整式
- 子节点： 定义：单项式和多项式统称为整式。
2.6 同类项
- 思维导图节点： 同类项
- 子节点： 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。所有的常数项也是同类项。
- 子节点： 判断标准：
- 孙节点： 所含字母相同
- 孙节点： 相同字母的指数相同
- 子节点： 注意事项：
- 孙节点： 同类项与系数无关，与字母的顺序无关。
2.7 合并同类项
- 思维导图节点： 合并同类项
- 子节点： 法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
- 子节点： 步骤：
- 孙节点： 找同类项
- 孙节点： 移项（利用加法交换律和结合律）
- 孙节点： 合并同类项
- 孙节点： 计算结果
2.8 去括号与添括号
- 思维导图节点： 去括号与添括号
- 子节点： 去括号法则：
- 孙节点： 括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号。
- 孙节点： 括号前是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里各项都改变符号。
- 子节点： 添括号法则：
- 孙节点： 添括号时，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号。
- 孙节点： 添括号时，括号前面是“–”号，括到括号里的各项都改变符号。
- 子节点： 去括号法则：
2.9 整式的加减
- 思维导图节点： 整式的加减
- 子节点： 步骤：
- 孙节点： 去括号
- 孙节点： 找同类项
- 孙节点： 合并同类项
- 子节点： 实质：合并同类项
- 子节点： 步骤：