《五年级数学第二单元位置思维导图》

中心主题：位置

一、坐标系基础

• 定义：
  • 用一对有序数对表示平面内一个点的位置。
  • 横轴（x轴）与纵轴（y轴）垂直相交于原点（0,0）。
• 组成：
  • 横轴（水平方向）：表示左右方向，通常用x表示。
  • 纵轴（垂直方向）：表示上下方向，通常用y表示。
  • 原点（0,0）：横轴与纵轴的交点，是坐标系的起始位置。
• 象限（可选）：
  • 第一象限：x>0, y>0
  • 第二象限：x<0, y>0
  • 第三象限：x<0, y<0
  • 第四象限：x>0, y<0
• 坐标的表示方法：
  • 有序数对(x, y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
  • 注意：顺序不能颠倒，(x, y)和(y, x)通常表示不同的位置。
• 确定位置的关键要素：
  • 确定原点（参考点）。
  • 确定横轴和纵轴的方向和单位长度。

二、用数对确定位置

• 方法：
  • 先确定列数（横向），再确定行数（纵向）。
  • 列数对应横坐标，行数对应纵坐标。
• 实际应用：
  • 确定教室里座位的位置。
  • 确定电影院座位的位置。
  • 确定方格纸上点的位置。
  • 地图上的位置定位。
• 注意点：
  • 明确规定列和行的方向，通常从左到右为列，从下到上为行。
  • 在具体情境中，理解列数和行数的实际意义。
  • 区分“第几列”和“列数是多少”；区分“第几行”和“行数是多少”。
• 例题：
  • 如果小明的位置是(3, 5)，表示小明在第3列，第5行。
  • 如果小红在第2列，第4行，那么她的位置是(2, 4)。

三、平移与位置

• 平移的概念：
  • 物体或图形沿着直线方向移动，大小和形状不变。
  • 平移只改变物体的位置，不改变它的方向。
• 平移的方向：
  • 水平平移：向左或向右平移。
  • 垂直平移：向上或向下平移。
• 平移的距离：
  • 指物体或图形移动的格数。
  • 在坐标系中，通过改变横坐标或纵坐标来实现。
• 平移与数对的变化：
  • 向右平移：横坐标增加，纵坐标不变。(x, y) -> (x+a, y)
  • 向左平移：横坐标减少，纵坐标不变。(x, y) -> (x-a, y)
  • 向上平移：纵坐标增加，横坐标不变。(x, y) -> (x, y+b)
  • 向下平移：纵坐标减少，横坐标不变。(x, y) -> (x, y-b)
  • 同时平移：横坐标和纵坐标都发生改变。(x, y) -> (x+a, y+b)
• 确定平移后的位置：
  • 先确定平移的方向和距离。
  • 再根据平移规则，计算平移后对应点的坐标。
• 应用：
  • 描述物体或图形的平移过程。
  • 根据平移的要求，在方格纸上画出平移后的图形。
  • 解决与平移有关的实际问题。
• 例题：
  • 点A(2, 3)向右平移3格后，位置变为(5, 3)。
  • 点B(4, 1)向上平移2格后，位置变为(4, 3)。
  • 点C(1, 5)先向右平移2格，再向下平移1格后，位置变为(3, 4)。

四、复杂图形的位置描述

• 多个点确定图形：
  • 用多个点的坐标来确定一个图形的位置和形状。
  • 通常选取图形的关键点（如顶点、角等）。
• 描述图形的位置关系：
  • 利用数对描述各个关键点的位置。
  • 描述图形之间的相对位置（例如，图形A在图形B的左边/右边/上方/下方）。
  • 描述图形之间的距离（例如，两个图形之间相隔几格）。
• 组合平移：
  • 图形可以进行多次平移，每次平移的方向和距离可能不同。
  • 将多次平移分解为单次平移，逐步确定最终位置。
• 不规则图形：
  • 可以将不规则图形分解为多个规则图形。
  • 分别确定各个规则图形的位置，再整体描述不规则图形的位置。
• 提高要求：
  • 能在坐标系中画出指定坐标的点，并连接成图形。
  • 能根据图形的平移，求出平移前后对应点的坐标。
  • 能利用位置的知识解决生活中的实际问题，例如设计路线、规划布局等。
• 例题：
  • 一个长方形的四个顶点分别是(1, 2), (4, 2), (4, 5), (1, 5)。
  • 将三角形ABC的三个顶点分别向右平移2格，再向上平移1格，得到三角形A'B'C'，求三角形A'B'C'的顶点坐标。

五、易错点总结

• 坐标的顺序：始终记住先列后行，即(x, y)。
• 平移的方向：分清左右平移影响横坐标，上下平移影响纵坐标。
• 单位长度：在具体情境中，明确单位长度的含义。
• 原点的位置：不同的原点位置会导致不同的坐标。
• 负数坐标（拓展）：理解负数坐标的意义，例如位于原点左侧或下方的点。

六、练习题类型

• 填空题：给出坐标，求位置；给出位置，求坐标；描述平移过程，求平移后的坐标。
• 选择题：判断坐标与位置的对应关系；选择正确的平移方式；根据图形的位置关系选择正确的坐标。
• 操作题：在方格纸上描点、画图；根据要求进行平移操作；设计简单的路线或布局。
• 应用题：结合实际情境，利用位置的知识解决问题。