《数学必修二第二章思维导图》

一、空间几何初步

1.1 空间几何体的结构

1.1.1 几何体的概念

• 空间几何体：占据空间一部分的形体。
• 平面图形：所有点都在同一个平面内的图形。
• 立体图形：不在同一平面内的点构成的图形。

1.1.2 常见几何体

• 多面体

  • 棱柱：两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。
    • 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。
    • 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
  • 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。
    • 正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥。
  • 棱台：由一个棱锥截去一个较小的棱锥后剩余的部分。
    • 正棱台：由正棱锥截成的棱台。
  • 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱。
    • 直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体。
    • 长方体：底面是矩形的直平行六面体。
    • 正方体：棱长相等的长方体。

• 旋转体

  • 圆柱：以矩形的一边为轴，旋转一周所成的几何体。
  • 圆锥：以直角三角形的一条直角边为轴，旋转一周所成的几何体。
  • 圆台：以直角梯形垂直于底的腰为轴，旋转一周所成的几何体。
  • 球：以半圆的直径所在的直线为轴，旋转一周所成的几何体。

1.1.3 几何体的直观图

• 斜二测画法：一种画空间图形的近似方法。
  • 步骤：
    1. 建立坐标系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点。
    2. 画轴：在直观图中，画x'轴，y'轴，使∠x'Oy' = 45° (或135°)。
    3. 画图形：在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴，长度保持不变；平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，长度变为原来的一半。

1.2 空间几何体的三视图和直观图

1.2.1 三视图

• 正视图（前视图）：从物体的前面向后投射所得的视图。
• 侧视图（左视图）：从物体的左面向右投射所得的视图。
• 俯视图：从物体的上面向下投射所得的视图。
• “长对正，高平齐，宽相等”：三视图之间的关系。
• 简单几何体三视图：掌握常见几何体的三视图。

1.2.2 由三视图还原实物

• 通过三视图判断几何体的形状和大小。
• 通过三视图计算几何体的表面积和体积。

1.3 空间几何体的表面积与体积

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

• 柱体

  • 表面积：S = 2S_底 + S_侧
  • 体积：V = S_底h

• 锥体

  • 表面积：S = S_底 + S_侧
  • 体积：V = (1/3)S_底h

• 台体

  • 表面积：S = S_上底 + S_下底 + S_侧
  • 体积：V = (1/3)(S_上底 + √(S_上底S_下底) + S_下底)h

1.3.2 球的表面积与体积

• 表面积：S = 4πR²
• 体积：V = (4/3)πR³

二、点、直线、平面之间的位置关系

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1 公理与定理

• 公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。（线在面上）
• 公理2：过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。（确定平面的条件1）
• 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。（面面相交）
• 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（线线平行传递性）
• 定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都平行，那么这条直线和平行于这个平面。（线面平行判定）

2.1.2 立体几何中有关位置关系的判定

• 线线位置关系：相交、平行、异面。
• 线面位置关系：线在面内、线面平行、线面相交。
• 面面位置关系：平行、相交。

2.2 直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定

• 判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。（线面平行判定）

2.2.2 直线与平面平行的性质

• 性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和此平面相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行性质）

2.2.3 平面与平面平行的判定

• 判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行判定）

2.2.4 平面与平面平行的性质

• 性质定理：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面。
• 推论：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行性质的推论）

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1 直线与平面垂直的判定

• 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（线面垂直判定）

2.3.2 直线与平面垂直的性质

• 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（线面垂直性质）

2.3.3 平面与平面垂直的判定

• 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（面面垂直判定）

2.3.4 平面与平面垂直的性质

• 性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直性质）

三、 总结

本章主要学习了空间几何体的结构特征、三视图、表面积和体积的计算方法，以及空间点、直线、平面之间的位置关系，重点掌握了线线、线面、面面的平行与垂直的判定定理和性质定理。这些知识是解决空间几何问题的基础，需要熟练掌握并灵活应用。本章的学习也为后续的立体几何学习打下了坚实的基础。

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