《七年级至八上数学思维导图》

一、七年级上学期

• 1. 有理数

  • 1.1 概念

    • 定义：整数和分数统称为有理数。
    • 分类：按性质分（正有理数、负有理数、0）；按定义分（整数、分数）。
    • 数轴：定义（原点、正方向、单位长度）；意义（表示数，比较大小，绝对值的几何意义）。
    • 相反数：定义（只有符号不同的两个数）；代数意义（a和-a）。
    • 绝对值：定义（数轴上表示数的点到原点的距离）；代数意义（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0）。

  • 1.2 运算

    • 加法：同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0。
    • 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
    • 乘法：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0。
    • 除法：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
    • 乘方：求n个相同因数的积的运算。
    • 混合运算：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号里面的。

• 2. 整式加减

  • 2.1 概念

    • 单项式：由数与字母的积组成的代数式。
    • 单项式的系数：单项式中的数字因数。
    • 单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和。
    • 多项式：几个单项式的和。
    • 多项式的项：多项式中的每个单项式。
    • 多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数。
    • 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。

  • 2.2 运算

    • 合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
    • 去括号：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不变；括号前面是“−”号，把括号和它前面的“−”号去掉，括号里各项的符号都要改变。
    • 整式加减：先去括号，再合并同类项。

• 3. 一元一次方程

  • 3.1 概念

    • 方程：含有未知数的等式。
    • 一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程。
    • 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。

  • 3.2 解法

    • 移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边。
    • 合并同类项：将方程化简。
    • 系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数。

  • 3.3 应用

    • 列方程解应用题：设未知数，找等量关系，列方程，解方程，检验，写答。

二、七年级下学期

• 4. 相交线与平行线

  • 4.1 相交线
    • 邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角。
    • 对顶角：两条直线相交所构成的四个角中，没有公共顶点，并且两条边互为反向延长线的两个角。
    • 垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
    • 垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
  • 4.2 平行线
    • 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
    • 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
    • 平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
    • 平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
  • 4.3 平移
    • 平移的定义：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
    • 平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应角相等。

• 5. 实数

  • 5.1 平方根、立方根
    • 平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
    • 算术平方根：正数的正的平方根叫做它的算术平方根。
    • 立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。
  • 5.2 实数
    • 无理数：无限不循环小数。
    • 实数：有理数和无理数统称为实数。
    • 实数的性质：实数与数轴上的点一一对应；实数可以比较大小，进行运算。

• 6. 二元一次方程组

  • 6.1 概念
    • 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程。
    • 二元一次方程组：由两个或两个以上的二元一次方程组成的方程组。
    • 方程组的解：使方程组中每个方程都成立的未知数的值。
  • 6.2 解法
    • 代入消元法：将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，然后代入到另一个方程中，从而消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
    • 加减消元法：将两个方程中的某一个未知数的系数化为相等或互为相反数，然后将两个方程相加或相减，从而消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
  • 6.3 应用
    • 列方程组解应用题：设两个未知数，找两个等量关系，列方程组，解方程组，检验，写答。

三、八年级上学期

• 7. 三角形

  • 7.1 基本概念
    • 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
    • 分类：按角分（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）；按边分（不等边三角形、等腰三角形）。
    • 重要线段：高线、中线、角平分线。
  • 7.2 性质
    • 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。
    • 三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
    • 三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边。
  • 7.3 全等三角形
    • 定义：能够完全重合的两个三角形。
    • 判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）。
    • 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

• 8. 数据的代表

  • 8.1 平均数
    • 算术平均数：所有数据之和除以数据的个数。
    • 加权平均数：各个数据乘以相应的权数后再求和，再除以权数之和。
  • 8.2 中位数
    • 定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数（或最中间两个数的平均数）。
  • 8.3 众数
    • 定义：一组数据中出现次数最多的数据。

• 9. 不等式与不等式组

  • 9.1 不等式
    • 定义：用不等号连接起来的式子。
    • 性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
  • 9.2 一元一次不等式
    • 定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式。
    • 解法：与解一元一次方程类似，但注意不等式的性质。
  • 9.3 不等式组
    • 定义：由几个含有同一个未知数的不等式组成的。
    • 解集：几个不等式的解集的公共部分。
    • 解法：分别解每个不等式，然后求它们的解集的公共部分。

此思维导图涵盖了七年级上下学期和八年级上学期数学的主要知识点，旨在帮助学生建立知识框架，理清知识脉络，从而更好地掌握和运用数学知识。每个知识点下面都包含了更详细的概念、性质和运算方法，方便学生进行深入学习和复习。