《八年级上册数学思维导图人教版》

一、数的开方

1.1 平方根

• 定义： 若x² = a，则x是a的平方根。a≥0。
• 性质：
  • 正数有两个平方根，互为相反数。
  • 0的平方根是0。
  • 负数没有平方根。
• 表示方法：
  • 正数a的平方根表示为 ±√a。
  • √a 读作“根号a”，表示a的算术平方根。
• 算术平方根： 正数a的正的平方根，记作√a。
  • 非负性：√a ≥ 0。

1.2 立方根

• 定义： 若x³ = a，则x是a的立方根。
• 性质：
  • 任何数都只有一个立方根。
  • 正数的立方根是正数。
  • 0的立方根是0。
  • 负数的立方根是负数。
• 表示方法： ³√a 读作“三次根号a”。

1.3 实数

• 定义： 有理数和无理数统称为实数。
• 分类：
  • 按性质分：
    • 正实数
    • 0
    • 负实数
  • 按构成形式分：
    • 有理数：有限小数或无限循环小数。
      • 整数
      • 分数
    • 无理数：无限不循环小数。
      • √2， π 等
• 实数与数轴： 实数与数轴上的点一一对应。
• 运算： 实数可以进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算，运算顺序与有理数相同。
• 绝对值： 实数a的绝对值：|a| = a (a≥0)，|a| = -a (a<0)。

二、三角形

2.1 与三角形有关的线段

• 三角形的定义： 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
• 三角形的分类：
  • 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
  • 按边分：不等边三角形、等腰三角形 (含等边三角形)。
• 三角形的边：
  • 三角形任意两边之和大于第三边。
  • 三角形任意两边之差小于第三边。
• 三角形的高： 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
• 三角形的中线： 连接三角形的一个顶点和它的对边中点的线段。
• 三角形的角平分线： 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段。
• 重要性质：
  • 三角形的三条高线交于一点（垂心）。
  • 三角形的三条中线交于一点（重心）。
  • 三角形的三条角平分线交于一点（内心）。

2.2 与三角形有关的角

• 三角形的内角和： 三角形的三个内角和等于180°。
• 三角形的外角： 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角。
• 三角形的外角性质：
  • 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
  • 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

2.3 多边形及其内角和

• 多边形的定义： 由在同一平面内，不在同一直线上的若干条线段首尾顺次相接组成的封闭图形。
• 正多边形： 各边相等，各角也相等的多边形。
• 多边形的内角和公式： (n-2) * 180° (n为多边形的边数)。
• 多边形的外角和： 多边形的外角和等于360°。
• 镶嵌问题： 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。能实现无缝隙、无重叠的镶嵌。

三、全等三角形

3.1 全等三角形

• 定义： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
• 性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
• 记法： △ABC ≌ △DEF (注意对应顶点字母要写在对应的位置上)。

3.2 三角形全等的判定

• SSS (边边边)： 三边对应相等的两个三角形全等。
• SAS (边角边)： 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
• ASA (角角边)： 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
• AAS (角角边)： 两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。
• HL (斜边、直角边)： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

3.3 角的平分线的性质

• 角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
• 角的平分线的判定： 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

四、轴对称

4.1 轴对称图形

• 定义： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
• 性质： 轴对称图形的对应点到对称轴的距离相等，对应线段相等，对应角相等。

4.2 画轴对称图形

• 通过找到关键点（顶点、线段端点）的对应点，并连接起来。

4.3 等腰三角形

• 定义： 有两条边相等的三角形。
• 性质：
  • 等腰三角形的两个底角相等 (等边对等角)。
  • 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 (三线合一)。
• 判定：
  • 有两个角相等的三角形是等腰三角形 (等角对等边)。

4.4 等边三角形

• 定义： 三条边都相等的三角形。
• 性质： 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°。
• 判定：
  • 三个角都相等的三角形是等边三角形。
  • 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

4.5 线段的垂直平分线

• 定义： 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线。
• 性质： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
• 判定： 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

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