《五年级上册第二单元思维导图：小数除法》
一、小数除法的意义与性质
1. 小数除法的意义
- 定义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
- 与整数除法的关系：小数除法是整数除法概念的延伸。
- 两种基本类型：
- 求一个数里面包含多少个另一个数（包含除）。
- 把一个数平均分成若干份，求每份是多少（等分除）。
- 现实意义：解决生活中如计算单价、平均数、速度、倍数关系等实际问题。
2. 商不变的性质
- 内容：被除数和除数同时乘以或除以同一个不为零的数，商不变。
- 表示：a ÷ b = (a × c) ÷ (b × c) = (a ÷ c) ÷ (b ÷ c) (其中 b ≠ 0, c ≠ 0)
- 应用：
- 核心作用：将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法，简化计算。
- 判断依据：观察被除数和除数变化的倍数是否相同。
二、小数除法的计算方法
1. 除数是整数的小数除法
- 计算法则：
- 按照整数除法的法则去除。
- 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
- 整数部分不够除，商0，点上小数点。
- 如果有余数，要添0继续除。
- 关键点：
- 小数点对齐：商的小数点位置是核心。
- 添0补位：当被除数某一位不够除或除到末尾仍有余数时，需在余数后面添0继续除。
- 示例类型：
- 9.6 ÷ 4 = 2.4
- 1.25 ÷ 5 = 0.25
- 70 ÷ 25 = 2.8 (整数除以整数，商是小数)
2. 除数是小数的小数除法
- 计算法则：
- 第一步（转化）：运用商不变的性质，移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足）。
- 第二步（计算）：按照除数是整数的小数除法进行计算。
- 关键点：
- 移动依据：根据除数的小数位数来确定移动的位数。
- 同步移动：被除数和除数的小数点必须向相同方向移动相同位数。
- 补0：当被除数位数不足时，用0补齐。
- 示例类型：
- 7.8 ÷ 0.3 = 78 ÷ 3 = 26
- 9.1 ÷ 0.35 = 910 ÷ 35 = 26
- 0.15 ÷ 0.03 = 15 ÷ 3 = 5
3. 商的验算方法
- 方法一：商 × 除数 = 被除数
- 方法二：被除数 ÷ 商 = 除数
- 注意：对于有余数的除法（特指未除尽或按要求保留位数前的余数），验算时应为：商 × 除数 + 余数 = 被除数。
三、商的近似数与循环小数
1. 商的近似数
- 需求场景：
- 在实际应用中，根据需要保留一定的小数位数。
- 当除法出现除不尽的情况时。
- 求法：
- 确定保留位数：根据题目要求（如：保留一位小数、保留两位小数、精确到百分位等）。
- 计算到下一位：计算时要比要求保留的位数多算一位。
- 运用“四舍五入”法：根据多算出的那一位上的数字决定舍去还是向前一位进1。
- 小于5：舍去。
- 大于或等于5：向前一位进1。
- 注意事项：
- 近似数符号：用“≈”连接。
- 实际问题中的取舍：有时需结合具体情境，使用“进一法”（如需要准备多少个容器）或“去尾法”（如最多能做多少件物品）。
2. 循环小数
- 定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
- 相关概念：
- 循环节：依次不断重复出现的数字（一个或几个）。
- 纯循环小数：从小数部分第一位就开始循环的小数（如：0.333...）。
- 混循环小数：小数部分不是从第一位就开始循环的小数（如：0.12323...）。
- 简便记法：
- 只写出第一个循环节。
- 在循环节的首位和末位数字上面各点一个圆点。如果循环节只有一个数字，就在这个数字上点一个圆点。
- 示例：
- 3.141414... 记作 3.1̇4̇
- 0.666... 记作 0.6̇
- 5.23737... 记作 5.23̇7̇
- 有限小数与无限小数：
- 有限小数：小数部分的位数是有限的小数。
- 无限小数：小数部分的位数是无限的小数。循环小数是无限小数的一种。无限不循环小数（如π）也存在。
- 相关概念：
四、解决问题（应用题）
1. 应用类型举例
- 求单价：总价 ÷ 数量 = 单价
- 求速度：路程 ÷ 时间 = 速度
- 求平均数：总量 ÷ 份数 = 平均数
- 比较大小：通过计算结果进行比较。
- 倍数关系：一个数是另一个数的几倍（大数 ÷ 小数）。
- 工程问题：工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间 (或类似变形)。
- 货币换算：涉及汇率的计算。
- 带限制条件的分配问题：如油桶、布料裁剪等，需要结合“进一法”或“去尾法”确定最终结果。
2. 解题步骤与策略
- 审题：仔细阅读题目，理解题意，找出已知条件和所求问题。
- 分析：分析数量关系，确定需要运用小数除法解决。
- 列式：根据数量关系列出正确的算式。
- 计算：准确运用小数除法的计算法则进行计算。
- 验算（可选）：检查计算结果是否正确。
- 取舍（按需）：根据实际问题情境和题目要求，对结果进行近似处理（四舍五入、进一法、去尾法）。
- 作答：写出完整的答案，注意单位。
五、知识梳理与易错点
1. 知识点回顾
- 小数除法的意义与整数除法一脉相承。
- 商不变性质是转化除数是小数除法的关键。
- 掌握除数是整数和除数是小数两种情况的计算法则。
- 理解商的近似数求法及“四舍五入”、“进一法”、“去尾法”的应用场景。
- 认识循环小数，掌握其定义、循环节和简便记法。
- 能够运用小数除法解决各类实际问题。
2. 常见易错点
- 小数点位置错误：
- 商的小数点与被除数小数点未对齐（除数是整数时）。
- 移动小数点时，被除数和除数移动位数不一致或方向错误（除数是小数时）。
- 整数除以整数商是小数时，忘记在商的个位后面点小数点。
- 补0问题：
- 被除数中间或末尾位数不够除时，忘记商0占位。
- 被除数末尾位数不够移动时，忘记添0补足。
- 除到末尾有余数需要继续除时，忘记添0。
- 近似数取舍错误：
- 未按要求保留小数位数。
- “四舍五入”法使用错误（如对非末尾数字进行四舍五入）。
- 实际问题中未根据情境选择正确的取舍方法（进一法/去尾法）。
- 循环小数表示错误：
- 循环节找错。
- 循环点标记位置错误或标记多个循环节。
- 计算粗心：基本的乘法口诀、加减法运算出错导致最终结果错误。
- 审题不清：未理解题意导致列式错误或单位错误。
总结：本单元核心是掌握小数除法的计算方法，并能灵活应用于解决实际问题。重点在于理解算理，特别是商不变性质的应用；难点在于小数点处理、商的近似数取舍以及循环小数的理解与表示。勤加练习，注重细节，是学好本单元的关键。