五年级下上册数学思维导图

# 《五年级下上册数学思维导图》

## 一、数与代数

### (一) 分数

*   **1. 分数的意义:**
    *   单位“1”的理解：整体与部分的关系，强调可分割性。
    *   分数单位：表示将单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数。
    *   真分数、假分数、带分数：定义、相互转化（假分数化为带分数或整数）、大小比较。
    *   分数与除法的关系：a ÷ b = a/b (b≠0)，理解“÷”和“/”的意义。
*   **2. 分数的运算:**
    *   **通分和约分:**
        *   公因数、最大公因数：求法（短除法、分解质因数）、意义。
        *   公倍数、最小公倍数：求法（短除法、分解质因数）、意义。
        *   最简分数：分子和分母只有公因数1的分数。
        *   通分：利用最小公倍数，把几个分母不同的分数化成和原来分数相等的同分母分数。
        *   约分：利用最大公因数，把一个分数化成和原来分数相等的最简分数。
    *   **分数加减法:**
        *   同分母分数加减法：分子相加减，分母不变。
        *   异分母分数加减法：先通分，再按照同分母分数加减法计算。
        *   带分数加减法：先将带分数化成假分数，或整数部分和分数部分分别计算。
        *   简便运算：运用运算定律（加法交换律、加法结合律）进行简便计算。
    *   **分数乘法:**
        *   分数乘整数：分子与整数相乘的积作分子，分母不变。
        *   分数乘分数：分子乘分子，分母乘分母。
        *   倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。
        *   求一个数的几分之几是多少：用乘法计算。
    *   **分数除法:**
        *   分数除以整数：等于分数乘这个整数的倒数。
        *   整数除以分数：等于整数乘这个分数的倒数。
        *   分数除以分数：等于分数乘除数的倒数。
        *   求一个数是另一个数的几分之几：用除法计算。
        *   已知一个数的几分之几是多少，求这个数：用除法计算。
*   **3. 分数应用题:**
    *   找准单位“1”：理解题意，确定哪个量是单位“1”。
    *   线段图：辅助理解题意，分析数量关系。
    *   掌握常见的数量关系：总数、部分数、倍数关系。
    *   灵活运用方程解应用题：列方程时，设未知数为x，根据等量关系列方程。
    *   复杂分数应用题：需要多次分析数量关系，分步求解。

### (二) 方程

*   **1. 字母表示数:**
    *   用字母表示数：简洁、通用，方便表示一般规律。
    *   字母表示运算定律和公式：如加法交换律a+b=b+a，长方形面积S=ab。
    *   含有字母的式子：表示数量关系，代入数值可以求值。
*   **2. 等式的性质:**
    *   等式两边同时加上或减去同一个数，结果仍然是等式。
    *   等式两边同时乘或除以同一个数（除数不能为0），结果仍然是等式。
*   **3. 方程的意义:**
    *   含有未知数的等式叫做方程。
*   **4. 解方程:**
    *   解方程的依据：等式的性质。
    *   解方程的步骤：
        *   根据等式的性质，逐步消去方程中的运算。
        *   使方程最终变成x=a的形式。
    *   验算：将求出的解代入原方程，看左右两边是否相等。
*   **5. 列方程解应用题:**
    *   找准等量关系：理解题意，分析题目中的数量关系。
    *   设未知数：通常设所求的量为x。
    *   列方程：根据等量关系列出方程。
    *   解方程：求出未知数的值。
    *   检验并写答案：检验解是否符合题意，并写出答案。

## 二、空间与图形

### (一) 长方体和正方体

*   **1. 长方体和正方体的认识:**
    *   特征：顶点、棱、面。
    *   长方体：6个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形），相对的面完全相同，12条棱，相对的棱长度相等。
    *   正方体：6个面都是完全相同的正方形，12条棱长度都相等。
    *   长方体和正方体的关系：正方体是特殊的长方体。
*   **2. 长方体和正方体的表面积:**
    *   表面积的意义：长方体或正方体6个面的面积之和。
    *   长方体表面积的计算公式：S = 2(ab + ah + bh)
    *   正方体表面积的计算公式：S = 6a²
    *   表面积的应用：解决实际问题，如制作纸盒、粉刷墙壁等。注意去除不需要计算的面。
*   **3. 长方体和正方体的体积:**
    *   体积的意义：物体所占空间的大小。
    *   体积单位：立方米（m³）、立方分米（dm³）、立方厘米（cm³）。
    *   容积：容器所能容纳物体的体积。
    *   容积单位：升（L）、毫升（mL），1L=1000mL，1L=1dm³，1mL=1cm³。
    *   长方体体积的计算公式：V = abh
    *   正方体体积的计算公式：V = a³
    *   体积的应用：解决实际问题，如计算游泳池的容量、沙堆的体积等。
*   **4. 体积单位的换算:**
    *   1 m³ = 1000 dm³
    *   1 dm³ = 1000 cm³
*   **5. 不规则物体的体积:**
    *   排水法：通过测量物体放入水中后水面上升的高度，计算物体的体积。

## 三、统计与概率

### (一) 数据的表示和分析

*   **1. 复式条形统计图:**
    *   特点：可以同时表示两组或多组数据的统计图。
    *   绘制：注意区分不同组数据的表示方式（颜色、阴影等），并标明图例。
    *   分析：比较各组数据的变化趋势，得出结论。
*   **2. 复式折线统计图:**
    *   特点：可以同时表示两组或多组数据的变化趋势。
    *   绘制：注意区分不同组数据的线条表示方式（颜色、线型等），并标明图例。
    *   分析：比较各组数据的变化趋势，得出结论。

## 四、数学广角

### (一) 鸡兔同笼问题

*   **1. 问题的特点:**
    *   已知两种物体的总数和总腿数。
    *   求两种物体各有多少个。
*   **2. 解题方法:**
    *   假设法：假设全部是鸡或全部是兔，计算出总腿数，与实际总腿数比较，求出另一种物体的个数。
    *   列方程：设鸡或兔为x，根据题意列方程求解。

## 五、综合应用

*   能够综合运用所学知识解决实际问题。
*   培养分析问题和解决问题的能力。
*   提高数学应用意识和实践能力。

# 《五年级下上册数学思维导图》 ## 一、数与代数 ### (一) 分数 * **1. 分数的意义:** * 单位“1”的理解：整体与部分的关系，强调可分割性。 * 分数单位：表示将单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数。 * 真分数、假分数、带分数：定义、相互转化（假分数化为带分数或整数）、大小比较。 * 分数与除法的关系：a ÷ b = a/b (b≠0)，理解“÷”和“/”的意义。 * **2. 分数的运算:** * **通分和约分:** * 公因数、最大公因数：求法（短除法、分解质因数）、意义。 * 公倍数、最小公倍数：求法（短除法、分解质因数）、意义。 * 最简分数：分子和分母只有公因数1的分数。 * 通分：利用最小公倍数，把几个分母不同的分数化成和原来分数相等的同分母分数。 * 约分：利用最大公因数，把一个分数化成和原来分数相等的最简分数。 * **分数加减法:** * 同分母分数加减法：分子相加减，分母不变。 * 异分母分数加减法：先通分，再按照同分母分数加减法计算。 * 带分数加减法：先将带分数化成假分数，或整数部分和分数部分分别计算。 * 简便运算：运用运算定律（加法交换律、加法结合律）进行简便计算。 * **分数乘法:** * 分数乘整数：分子与整数相乘的积作分子，分母不变。 * 分数乘分数：分子乘分子，分母乘分母。 * 倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。 * 求一个数的几分之几是多少：用乘法计算。 * **分数除法:** * 分数除以整数：等于分数乘这个整数的倒数。 * 整数除以分数：等于整数乘这个分数的倒数。 * 分数除以分数：等于分数乘除数的倒数。 * 求一个数是另一个数的几分之几：用除法计算。 * 已知一个数的几分之几是多少，求这个数：用除法计算。 * **3. 分数应用题:** * 找准单位“1”：理解题意，确定哪个量是单位“1”。 * 线段图：辅助理解题意，分析数量关系。 * 掌握常见的数量关系：总数、部分数、倍数关系。 * 灵活运用方程解应用题：列方程时，设未知数为x，根据等量关系列方程。 * 复杂分数应用题：需要多次分析数量关系，分步求解。 ### (二) 方程 * **1. 字母表示数:** * 用字母表示数：简洁、通用，方便表示一般规律。 * 字母表示运算定律和公式：如加法交换律a+b=b+a，长方形面积S=ab。 * 含有字母的式子：表示数量关系，代入数值可以求值。 * **2. 等式的性质:** * 等式两边同时加上或减去同一个数，结果仍然是等式。 * 等式两边同时乘或除以同一个数（除数不能为0），结果仍然是等式。 * **3. 方程的意义:** * 含有未知数的等式叫做方程。 * **4. 解方程:** * 解方程的依据：等式的性质。 * 解方程的步骤： * 根据等式的性质，逐步消去方程中的运算。 * 使方程最终变成x=a的形式。 * 验算：将求出的解代入原方程，看左右两边是否相等。 * **5. 列方程解应用题:** * 找准等量关系：理解题意，分析题目中的数量关系。 * 设未知数：通常设所求的量为x。 * 列方程：根据等量关系列出方程。 * 解方程：求出未知数的值。 * 检验并写答案：检验解是否符合题意，并写出答案。 ## 二、空间与图形 ### (一) 长方体和正方体 * **1. 长方体和正方体的认识:** * 特征：顶点、棱、面。 * 长方体：6个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形），相对的面完全相同，12条棱，相对的棱长度相等。 * 正方体：6个面都是完全相同的正方形，12条棱长度都相等。 * 长方体和正方体的关系：正方体是特殊的长方体。 * **2. 长方体和正方体的表面积:** * 表面积的意义：长方体或正方体6个面的面积之和。 * 长方体表面积的计算公式：S = 2(ab + ah + bh) * 正方体表面积的计算公式：S = 6a² * 表面积的应用：解决实际问题，如制作纸盒、粉刷墙壁等。注意去除不需要计算的面。 * **3. 长方体和正方体的体积:** * 体积的意义：物体所占空间的大小。 * 体积单位：立方米（m³）、立方分米（dm³）、立方厘米（cm³）。 * 容积：容器所能容纳物体的体积。 * 容积单位：升（L）、毫升（mL），1L=1000mL，1L=1dm³，1mL=1cm³。 * 长方体体积的计算公式：V = abh * 正方体体积的计算公式：V = a³ * 体积的应用：解决实际问题，如计算游泳池的容量、沙堆的体积等。 * **4. 体积单位的换算:** * 1 m³ = 1000 dm³ * 1 dm³ = 1000 cm³ * **5. 不规则物体的体积:** * 排水法：通过测量物体放入水中后水面上升的高度，计算物体的体积。 ## 三、统计与概率 ### (一) 数据的表示和分析 * **1. 复式条形统计图:** * 特点：可以同时表示两组或多组数据的统计图。 * 绘制：注意区分不同组数据的表示方式（颜色、阴影等），并标明图例。 * 分析：比较各组数据的变化趋势，得出结论。 * **2. 复式折线统计图:** * 特点：可以同时表示两组或多组数据的变化趋势。 * 绘制：注意区分不同组数据的线条表示方式（颜色、线型等），并标明图例。 * 分析：比较各组数据的变化趋势，得出结论。 ## 四、数学广角 ### (一) 鸡兔同笼问题 * **1. 问题的特点:** * 已知两种物体的总数和总腿数。 * 求两种物体各有多少个。 * **2. 解题方法:** * 假设法：假设全部是鸡或全部是兔，计算出总腿数，与实际总腿数比较，求出另一种物体的个数。 * 列方程：设鸡或兔为x，根据题意列方程求解。 ## 五、综合应用 * 能够综合运用所学知识解决实际问题。 * 培养分析问题和解决问题的能力。 * 提高数学应用意识和实践能力。

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