《五上第六单元因数与倍数思维导图》

中心主题：因数与倍数

一、概念与定义

• 1. 因数（约数）
  • 定义：若整数a除以整数b(b≠0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就说b是a的因数，或a是b的倍数。
  • 特点：因数成对出现。
  • 求法：
    • 列举法：从小到大，寻找所有能整除该数的整数。例如：12的因数：1, 2, 3, 4, 6, 12。
    • 短除法：分解质因数后，组合所有可能的因数。
  • 特殊情况：
    • 1是任何非零整数的因数。
    • 任何一个非零整数都是它自身的因数。
• 2. 倍数
  • 定义：与因数定义对应。
  • 特点：一个数的倍数有无限个。
  • 求法：用该数乘以正整数（1, 2, 3...）。 例如：3的倍数：3, 6, 9, 12...
  • 特殊情况：
    • 任何非零整数都是它自身的倍数。
    • 0是任何非零整数的倍数。
• 3. 注意事项
  • 研究对象：通常在正整数范围内。
  • 因数和倍数是相互依存的关系，不能单独存在。必须说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

二、特殊数及其特征

• 1. 2的倍数（偶数）
  • 特征：个位是0, 2, 4, 6, 8的数。
  • 偶数与奇数：
    • 偶数：能被2整除的数。
    • 奇数：不能被2整除的数。
    • 任何整数不是奇数就是偶数。
  • 运算性质：
    • 偶数+偶数=偶数
    • 奇数+奇数=偶数
    • 偶数+奇数=奇数
    • 偶数×偶数=偶数
    • 偶数×奇数=偶数
    • 奇数×奇数=奇数
• 2. 5的倍数
  • 特征：个位是0或5的数。
• 3. 3的倍数
  • 特征：各位数字之和是3的倍数。
  • 举例：123是3的倍数，因为1+2+3=6，6是3的倍数。
• 4. 0的特性
  • 0是任何非零整数的倍数。
  • 0不能做除数，所以没有因数。
• 5. 1的特性
  • 1既不是质数也不是合数。
  • 1是任何非零整数的因数。

三、质数与合数

• 1. 质数（素数）
  • 定义：只有1和它本身两个因数的数。
  • 例子：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...
  • 最小的质数：2
  • 注意：2是唯一的偶数质数。
• 2. 合数
  • 定义：除了1和它本身，还有其他因数的数。
  • 例子：4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15...
  • 最小的合数：4
  • 注意：1既不是质数也不是合数。
• 3. 1的特殊性
  • 既不是质数，也不是合数。只有1个因数（它本身）。
• 4. 质因数
  • 定义：一个数的因数是质数，这个因数就是这个数的质因数。
• 5. 分解质因数
  • 定义：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
  • 方法：
    • 短除法：将合数用质数除，一直除到商是质数为止。
    • 树状图法：将合数分解成两个因数，再将每个因数分解，直到所有因数都是质数为止。

四、公因数与公倍数

• 1. 公因数
  • 定义：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。
  • 最大公因数：公因数中最大的一个。
  • 求法：
    • 列举法：分别列出各数的因数，找出公有的，并找出最大的。
    • 短除法：用公有的质因数去除，直到商互质为止，所有公有的质因数的乘积就是最大公因数。
• 2. 公倍数
  • 定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。
  • 最小公倍数：公倍数中最小的一个。
  • 求法：
    • 列举法：分别列出各数的倍数，找出公有的，并找出最小的。
    • 短除法：用公有的质因数去除，直到商互质为止，所有除数和商的乘积就是最小公倍数。
• 3. 互质数
  • 定义：只有公因数1的两个数，叫做互质数。
  • 特殊情况：
    • 两个质数一定是互质数。
    • 相邻的两个自然数一定是互质数。
    • 1和任何非零自然数都是互质数。
• 4. 最大公因数与最小公倍数的关系
  • 两个数的乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积。

五、应用

• 1. 约分
  • 利用最大公因数将分数化简成最简分数。
• 2. 通分
  • 利用最小公倍数将分母不同的分数化成分母相同的分数。
• 3. 解决实际问题
  • 将物品平均分配、分组问题，通常与因数、最大公因数有关。
  • 周期性问题、重复性问题，通常与倍数、最小公倍数有关。
• 4. 判断题与选择题
  • 灵活运用各个概念的定义和性质进行判断。