《五年级下册数学第一单元思维导图》

一、因数与倍数

1.1 基本概念

1.1.1 因数

• 定义：如果整数a除以整数b（b≠0）的商是整数，且没有余数，我们就说b是a的因数，a是b的倍数。
• 特点：因数是成对出现的。
• 寻找方法：
  • 列举法：从1开始，逐步尝试，找到所有能整除该数的整数。
  • 乘法算式法：通过寻找两个数相乘等于该数的所有算式来确定因数。

1.1.2 倍数

• 定义：如果整数a除以整数b（b≠0）的商是整数，且没有余数，我们就说a是b的倍数。
• 特点：一个数的倍数有无数个。
• 寻找方法：
  • 从该数本身开始，依次乘以1, 2, 3, ...，所得结果即为该数的倍数。

1.1.3 因数与倍数的关系

• 相互依存：因数和倍数是相互依存的概念，不能单独存在。
• 例：12是3的倍数，3是12的因数。

1.2 特殊的因数和倍数

1.2.1 1的因数和倍数

• 因数：只有1个，是1本身。
• 倍数：有无数个，都是1的倍数。

1.2.2 0的因数和倍数

• 因数：可以看做是任何非零整数的倍数。
• 倍数：0是任何非零整数的倍数。
• 注意：在讨论因数和倍数时，通常不考虑0。

1.3 找因数和倍数的方法

1.3.1 短除法

• 适用情况：快速分解较大的数，找到其因数。
• 步骤：
  1. 用一个质数去除该数，如果能整除，则得到一个商和一个质因数。
  2. 继续用质数去除得到的商，直到商为质数为止。
  3. 将所有质因数相乘，即为该数的质因数分解形式，从而可以找到所有因数。

1.3.2 规律总结

• 任何数都有1和它本身这两个因数。
• 一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。
• 一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。

二、2、5、3的倍数的特征

2.1 2的倍数的特征

2.1.1 偶数与奇数

• 偶数：是2的倍数，个位数字是0, 2, 4, 6, 8。
• 奇数：不是2的倍数，个位数字是1, 3, 5, 7, 9。
• 0是偶数。

2.1.2 判断方法

• 看个位数字：个位数字是0, 2, 4, 6, 8的数，就是2的倍数。

2.2 5的倍数的特征

2.2.1 判断方法

• 看个位数字：个位数字是0或5的数，就是5的倍数。

2.3 3的倍数的特征

2.3.1 判断方法

• 看各位数字之和：如果一个数的各位数字之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。
• 例：123，1+2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数。

2.4 同时是2、5的倍数的特征

2.4.1 判断方法

• 个位数字是0：同时是2和5的倍数的数，个位数字一定是0。

2.5 同时是2、3、5的倍数的特征

2.5.1 判断方法

• 个位数字是0，且各位数字之和是3的倍数：同时是2、3和5的倍数的数，个位数字一定是0，且各位数字之和必须是3的倍数。

三、质数和合数

3.1 定义

3.1.1 质数

• 定义：一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。
• 例：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

3.1.2 合数

• 定义：除了1和它本身，还有其他因数的数叫做合数。
• 例：4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, ...

3.1.3 特殊数

• 1既不是质数，也不是合数。
• 2是最小的质数，也是唯一的偶数质数。

3.2 100以内的质数表

• 熟记100以内的质数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

3.3 判断质数和合数的方法

3.3.1 根据定义

• 找到该数的所有因数，如果只有1和它本身，则是质数；否则，是合数。

3.3.2 筛选法 (埃拉托色尼筛法)

• 步骤：
  1. 写出从2开始的自然数序列。
  2. 划掉2的所有倍数（除了2本身）。
  3. 找到序列中未被划掉的最小的数（即3），划掉3的所有倍数（除了3本身）。
  4. 重复步骤3，直到达到预定的范围。
  5. 剩下的未被划掉的数就是质数。

四、分解质因数

4.1 定义

• 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

4.2 方法

4.2.1 短除法

• 步骤：
  1. 用一个质数去除这个合数，如果能整除，则得到一个商和一个质因数。
  2. 继续用质数去除得到的商，直到商为质数为止。
  3. 将所有质因数和最后的商相乘，即为该合数的质因数分解形式。

4.2.2 树状图法

• 从合数开始，分解成两个因数的乘积，如果因数不是质数，则继续分解，直到所有的因数都是质数为止。

4.3 唯一性

• 任何一个合数的质因数分解形式是唯一的（不考虑因数的顺序）。

4.4 应用

• 求最大公因数和最小公倍数。

五、最大公因数和最小公倍数

5.1 最大公因数（GCD）

5.1.1 定义

• 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。

5.1.2 求法

• 列举法：列出所有因数，找到公共因数，取最大的一个。
• 短除法：用所有数的公有质因数去除，直到没有公有质因数为止，将所有除数相乘。
• 分解质因数法：分别分解质因数，找出所有公共的质因数，将这些公共质因数相乘。

5.1.3 特殊情况

• 互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。它们的最大公因数是1。
• 倍数关系：如果两个数成倍数关系，那么较小的数就是它们的最大公因数。

5.2 最小公倍数（LCM）

5.2.1 定义

• 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

5.2.2 求法

• 列举法：列出所有倍数，找到公共倍数，取最小的一个。
• 短除法：用所有数的公有质因数去除，直到没有公有质因数为止，将所有除数和最后的商相乘。
• 分解质因数法：分别分解质因数，找出所有质因数（包括公共的和独有的），将这些质因数相乘，公共的质因数只乘一次。

5.2.3 特殊情况

• 互质数：互质数的最小公倍数是它们的乘积。
• 倍数关系：如果两个数成倍数关系，那么较大的数就是它们的最小公倍数。

5.3 最大公因数和最小公倍数的应用

• 解决实际问题，如：
  • 铺地砖问题
  • 分组问题
  • 周期问题
  • 等分问题

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