《数学五年级上册思维导图》
一、小数乘法
1.1 小数乘整数
- 意义： 与整数乘法的意义相同，表示几个相同加数的和的简便运算。
- 计算方法：
- 按整数乘法的方法计算。
- 看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
- 注意事项：
- 积的小数部分末尾有0的，要把0去掉，使小数变为最简形式。
1.2 小数乘小数
- 计算方法：
- 按整数乘法的方法计算。
- 看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
- 积的位数不够时： 在前面用0补足。
- 注意事项：
- 计算时要注意小数点的位置。
1.3 积的近似数
- 求积的近似数的方法：
- 先算出精确积，然后按照“四舍五入”的方法取近似数。
- 注意保留几位小数就看小数点后下一位。
- 近似数的表示方法：
- 约等于号“≈”。
1.4 乘法运算定律的推广
- 整数乘法的运算定律在小数乘法中同样适用。
- 运算定律：
- 乘法交换律： a × b = b × a
- 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
- 乘法分配律： (a + b) × c = a × c + b × c 或 a × (b + c) = a × b + a × c
- 应用运算定律进行简便计算。
1.5 解决问题
- 灵活运用小数乘法的知识解决实际问题。
- 策略：
- 认真审题，理解题意。
- 分析数量关系。
- 列出算式，正确计算。
- 检验答案的合理性。
二、位置
2.1 用数对确定位置
- 数对的含义： 用两个数表示一个物体在平面上的位置，这两个数组成一对，就是数对。
- 数对的表示方法： 用括号将两个数括起来，中间用逗号隔开，如(3, 5)。
- 数对的意义：
- 第一个数表示第几列。
- 第二个数表示第几行。
- 确定位置的步骤：
- 明确列和行的定义。
- 根据数对，找到对应的列和行。
2.2 用方向和距离确定位置
- 确定方向：
- 上北下南，左西右东。
- 东北、西北、东南、西南等方向。
- 用量角器测量角度确定更精确的方向。
- 确定距离：
- 比例尺的应用，根据比例尺计算实际距离。
- 描述位置的步骤：
- 以谁为观测点。
- 在什么方向上。
- 距离多远。
三、小数除法
3.1 除数是整数的小数除法
- 计算方法：
- 按照整数除法的方法去除。
- 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
- 整数部分不够除，商0，点上小数点。
- 如果有余数，要添0继续除。
- 注意事项：
- 注意小数点的位置。
3.2 除数是小数的小数除法
- 计算方法：
- 先移动除数的小数点，使它变成整数。
- 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位，位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足。
- 按照除数是整数的小数除法进行计算。
- 商不变的性质的应用。
3.3 商的近似数
- 求商的近似数的方法：
- 除到要保留的位数多一位，然后按照“四舍五入”的方法取近似数。
- 取商的近似数的方法：
- 四舍五入法
- 进一法
- 去尾法（根据实际情况选择合适的方法）
- 解决实际问题：如“买东西”等。
3.4 循环小数
- 循环小数的定义： 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
- 循环节的定义： 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。
- 循环小数的表示方法：
- 在循环节的第一个数字和最后一个数字上面各点一个圆点。
- 只写两个循环节，中间用省略号表示。
- 有限小数和无限小数：
- 小数部分的位数是有限的，叫做有限小数。
- 小数部分的位数是无限的，叫做无限小数。
- 循环小数是无限小数。
3.5 用计算器探索规律
- 利用计算器进行计算，发现规律。
- 例如： 1 ÷ 11， 2 ÷ 11， 3 ÷ 11，……，9 ÷ 11 的商的规律。
- 根据规律解决问题。
3.6 解决问题
- 灵活运用小数除法的知识解决实际问题。
- 例如： 单价、数量、总价之间的关系；工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。
四、简易方程
4.1 用字母表示数
- 用字母表示数的意义： 用字母可以表示任意数，可以简明地表达数量关系、运算定律和计算公式。
- 用字母表示数的规则：
- 在含有字母的乘法算式中，乘号可以写成“.”，也可以省略不写。
- 数字和字母相乘时，要把数字写在字母的前面。
- 当字母表示两个相同的数相乘时，可以写成字母的平方，如 a × a = a² 。
- 1与任何字母相乘，1可以省略不写。
- 运算定律和公式用字母表示：
- 加法交换律： a + b = b + a
- 加法结合律： (a + b) + c = a + (b + c)
- 乘法交换律： a × b = b × a
- 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
- 乘法分配律： (a + b) × c = a × c + b × c
- 正方形的面积公式：S = a²
- 长方形的面积公式：S = ab
4.2 等式与方程
- 等式的定义： 表示相等关系的式子叫做等式。
- 方程的定义： 含有未知数的等式，叫做方程。
- 方程的特征： 既是等式，又是含有未知数。
- 等式的基本性质：
- 等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
- 等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），所得结果仍然是等式。
4.3 解方程
- 解方程的定义： 求方程的解的过程叫做解方程。
- 方程的解的定义： 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
- 解方程的依据： 等式的基本性质。
- 解方程的步骤：
- 运用等式的性质，使方程变形。
- 把含有未知数的一项单独留在等式的一边。
- 求出未知数的值。
- 检验： 把求出的未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等。
4.4 列方程解决实际问题
- 列方程解决问题的步骤：
- 弄清题意，找出未知数，并用字母x表示。
- 分析数量关系，找出等量关系，列出方程。
- 解方程。
- 检验，写出答案。
- 常见等量关系：
- 加法： 部分 + 部分 = 总数
- 减法： 总数 - 部分 = 部分
- 乘法： 单价 × 数量 = 总价
- 除法： 总价 ÷ 单价 = 数量
五、多边形的面积
5.1 平行四边形的面积
- 平行四边形的面积公式： S = ah （底×高）
- 公式的推导： 通过割补法，将平行四边形转化为长方形。
- 注意事项： 底和高必须对应。
5.2 三角形的面积
- 三角形的面积公式： S = (ah) ÷ 2 （底×高÷2）
- 公式的推导： 通过拼摆法，将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。
- 注意事项： 底和高必须对应。
5.3 梯形的面积
- 梯形的面积公式： S = (a+b)h ÷ 2 （(上底+下底)×高÷2）
- 公式的推导： 通过拼摆法，将两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。
- 注意事项： 上底、下底和高必须对应。
5.4 组合图形的面积
- 组合图形的定义： 由几个简单的图形组合而成的图形。
- 计算方法：
- 分割法： 将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算面积，然后求和。
- 添补法： 将组合图形添补成一个简单的图形，计算大图形的面积，再减去添补部分的面积。
- 选择合适的计算方法。
5.5 不规则图形的面积
- 估算方法：
- 将不规则图形放在方格纸上，数出整格的个数和不满整格的个数。
- 把不满整格的都看作半格。
- 用整格的个数加上半格的个数，再乘以每个小方格的面积，得到不规则图形的面积。
- 可以将不规则图形近似看作规则图形，例如平行四边形、三角形等，然后计算面积。
六、可能性
6.1 可能性的大小
- 可能性的定义： 事情发生的概率，即事件发生的可能性大小。
- 可能性大小的判断：
- 当事件发生的可能性相同时，事件是公平的。
- 当事件包含的可能结果越多，事件发生的可能性就越大。
- 用分数表示可能性的大小。
- 公平游戏的设计。