七年级数学有理数思维导图画

## 《七年级数学有理数思维导图画》 ### 中心主题：有理数 **一级分支：概念与分类** * **概念：** * 整数与分数的统称 * 可以表示成分数形式（p/q，其中p,q为整数且q≠0） * 数轴上的点都能找到对应表示（无限不循环小数除外） * **分类：** * **按正负性分：** * 正有理数：大于0的有理数 (包括正整数和正分数) * **正整数：** 1, 2, 3… (自然数集合去掉0) * **正分数：** 1/2, 3/4, 5.6… * 负有理数：小于0的有理数 (包括负整数和负分数) * **负整数：** -1, -2, -3… * **负分数：** -1/2, -3/4, -5.6… * 零：既不是正数也不是负数 (唯一的中性数) * **按整数、分数分：** * **整数：** * 正整数 * 零 * 负整数 * **分数：** * 正分数 * 负分数 **一级分支：数轴** * **定义：** 规定了原点、正方向、单位长度的直线 * **要素：** * 原点：表示0的点 * 正方向：数轴上箭头所指的方向 * 单位长度：表示1的长度 * **作用：** * 直观表示数的大小 * 比较有理数的大小 * 理解相反数的概念 * **画法：** * 画直线 * 确定原点 * 确定正方向 * 选取适当单位长度 * 在数轴上表示数字，注意正负方向 **一级分支：相反数** * **定义：** 只有符号不同的两个数互为相反数 * **性质：** * a的相反数是-a * 0的相反数是0 * 互为相反数的两个数的和为0，即a + (-a) = 0 * 在数轴上，互为相反数的两个数到原点的距离相等 * **求法：** 在一个数的前面添上负号 **一级分支：绝对值** * **定义：** 数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a| * **几何意义：** 表示点到原点的距离 * **代数意义：** * 正数的绝对值是它本身 * 负数的绝对值是它的相反数 * 0的绝对值是0 * 公式表达： |a| = a (a>0), |a| = 0 (a=0), |a| = -a (a<0) * **性质：** * |a| ≥ 0 (非负性) * |a| = |-a| * |a - b| 表示数a和数b在数轴上对应的两点之间的距离 * **应用：** * 化简含绝对值的式子 * 比较有理数的大小 (绝对值大的负数反而小) **一级分支：有理数的大小比较** * **数轴比较法：** 在数轴上，右边的数总比左边的数大 * **规则：** * 正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数 * 两个负数，绝对值大的反而小 **一级分支：有理数的运算** * **加法：** * 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 * 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 * 一个数与0相加，仍得这个数 * 加法交换律：a + b = b + a * 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) * **减法：** 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a - b = a + (-b) * **乘法：** * 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 * 任何数与0相乘，都得0 * 乘法交换律：a × b = b × a * 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c) * 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c * **除法：** * 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即a ÷ b = a × (1/b) (b≠0) * 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 * 0除以任何不等于0的数，都得0 * **乘方：** * 定义：求n个相同因数的积的运算，即 a^n = a × a × … × a (n个a) * 正数的任何次幂都是正数 * 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 * 0的任何正整数次幂都是0 * **运算顺序：** * 先算乘方，再算乘除，最后算加减 * 同级运算，从左到右进行 * 如有括号，先算括号里面的 (先小括号，再中括号，最后大括号) **一级分支：科学计数法** * **定义：** 把一个绝对值大于10或小于1但接近0的数表示成 a × 10^n 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n为整数 * **n的确定：** * 当原数的绝对值大于等于10时，n等于原数的整数位数减1 * 当原数的绝对值小于1时，n是第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前的零）的相反数 * **用途：** 简便地表示很大的数或很小的数 **一级分支：近似数与有效数字** * **近似数：** 通过四舍五入等方法得到的与实际数值接近的数 * **精确度：** 近似数与实际数值的接近程度，可以用精确到哪一位来表示 * **有效数字：** 从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个近似数的有效数字 * **确定有效数字：** * 对于用四舍五入法得到的近似数，精确到哪一位，就说这个近似数有几个有效数字 * 科学记数法表示的数，所有的数字都是有效数字 **一级分支：应用** * **生活中的负数：** 温度、海拔、收支、盈亏等 * **实际问题中的计算：** 工程问题、经济问题等 * **数形结合：** 利用数轴解决问题 这个思维导图涵盖了七年级数学有理数的主要知识点，可以帮助学生系统地理解和掌握相关概念和运算，提高解题能力。 学生可以根据自身情况对思维导图进行补充和完善，使其更加个性化和有效。

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