《五年级上下册有关分数的思维导图》

一、五年级上册分数

1. 分数的意义

• 定义： 将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。
  • 单位“1”：一个物体、一个计量单位或一些物体组成的一个整体。
  • 分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数。 例如：1/4的分数单位是1/4。
• 分数各部分名称： 分子、分数线、分母。
  • 分母：表示把单位“1”平均分成多少份。
  • 分子：表示取了其中的多少份。
• 分数与除法的关系： a ÷ b = a/b (b ≠ 0)
  • 被除数相当于分子。
  • 除数相当于分母。
  • 除号相当于分数线。

2. 真分数和假分数

• 真分数： 分子小于分母的分数，真分数小于1。
• 假分数： 分子大于或等于分母的分数，假分数大于或等于1。
• 带分数： 由整数和真分数合成的数。
• 假分数化成整数或带分数：
  • 分子是分母的倍数，可以直接化成整数，例如： 6/3 = 2。
  • 分子不是分母的倍数，可以化成带分数，例如： 7/3 = 2 1/3。
• 带分数化成假分数： 用整数部分乘分母再加上分子作分子，分母不变，例如： 2 1/3 = (2*3 + 1)/3 = 7/3。

3. 分数的基本性质

• 内容： 分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。
• 应用：
  • 化简分数： 将分数化成最简分数。
  • 通分： 将分母不同的分数化成和原来分数相等并且分母相同的分数。

4. 最大公因数和最小公倍数

• 公因数和最大公因数： 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
• 公倍数和最小公倍数： 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
• 互质数： 公因数只有1的两个数，叫做互质数。
• 求最大公因数的方法：
  • 列举法：列举出两个数的所有因数，找出公有的，最大的就是最大公因数。
  • 短除法：用两个数公有的因数去除，直到两个商互质为止，所有除数的乘积就是最大公因数。
• 求最小公倍数的方法：
  • 列举法：列举出两个数的一些倍数，找出公有的，最小的就是最小公倍数。
  • 短除法：用两个数公有的因数去除，直到两个商互质为止，所有除数和两个商的乘积就是最小公倍数。
• 特殊情况：
  • 两个数是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
  • 如果一个数是另一个数的倍数，那么较小数是它们的最大公因数，较大数是它们的最小公倍数。

5. 约分和通分

• 约分： 把一个分数化成与它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
  • 最简分数： 分子和分母是互质数的分数叫做最简分数。
• 通分： 把几个分母不相同的分数分别化成和原来分数相等的分数，叫做通分。
  • 公分母：通分时，相同的分母叫做公分母。 通常用原来几个分母的最小公倍数作公分母。

6. 分数和小数的互化

• 小数化成分数： 看有几位小数,就在1后面添几个0作分母，原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约成最简分数。
• 分数化成小数： 用分子除以分母，除不尽的按要求保留几位小数。
• 常用分数和小数的互化： 1/2 = 0.5， 1/4 = 0.25， 3/4 = 0.75， 1/5 = 0.2， 2/5 = 0.4， 3/5 = 0.6， 4/5 = 0.8， 1/8 = 0.125， 3/8 = 0.375， 5/8 = 0.625， 7/8 = 0.875

二、五年级下册分数

1. 分数的加法和减法

• 同分母分数加减法： 分母不变，分子相加减。结果能约分的要约成最简分数。
• 异分母分数加减法： 先通分，化成同分母分数，再按照同分母分数加减法的方法计算。
• 带分数加减法：
  • 带分数加法：整数部分和分数部分分别相加，如果分数部分相加的结果是假分数，要化成带分数或整数。
  • 带分数减法： 整数部分和分数部分分别相减，如果被减数的分数部分小于减数的分数部分，要先向整数部分借1化成分数再计算。
• 分数加减混合运算： 运算顺序与整数加减混合运算相同，有括号的要先算括号里面的，没有括号的按照从左到右的顺序计算。
• 简便运算： 整数的加法运算定律对于分数加法同样适用。

2. 分数乘法

• 分数乘整数： 分子和整数相乘的积作分子，分母不变。 计算结果能约分的要约成最简分数。
• 分数乘分数： 分子乘分子作分子，分母乘分母作分母。计算结果能约分的要约成最简分数。
• 分数乘法的意义：
  • 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。
  • 分数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。
• 倒数： 乘积是1的两个数互为倒数。
  • 求一个数的倒数的方法： 把这个数的分子、分母调换位置。
  • 1的倒数是1，0没有倒数。
• 乘法简便运算： 整数乘法的交换律、结合律、分配律，对于分数乘法同样适用。

3. 分数除法

• 分数除以整数： 除以一个整数(0除外)，等于乘这个整数的倒数。
• 一个数除以分数： 等于乘这个分数的倒数。
• 分数除法的意义： 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
• 分数连除和乘除混合运算： 按照从左往右的顺序计算。 乘除混合运算，可以先把除法转化成乘法，再计算。

4. 分数四则混合运算

• 运算顺序：
  • 没有括号的，先算乘除法，后算加减法。
  • 有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。
• 简便计算： 在分数四则混合运算中，灵活运用运算定律可以使计算简便。

5. 解决问题

• 用分数乘法解决问题： 找准单位“1”，判断求的是单位“1”的几分之几。
• 用分数除法解决问题： 找准单位“1”，判断是已知单位“1”还是未知单位“1”。
  • 已知单位“1”，求部分，用乘法。
  • 未知单位“1”，求单位“1”，用除法。
• 稍复杂的分数应用题： 需要根据题意画线段图，理清数量关系，然后列式计算。
• 工程问题：
  • 把工作总量看作单位“1”。
  • 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间
  • 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率
• 比的认识 (六年级内容，但部分学校五年级下册会提前学习):
  • 比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。
  • 比的各部分名称：前项、比号、后项。
  • 比的性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
  • 化简比：把一个比化成最简单的整数比。

以上是五年级上下册关于分数的知识点整理，建议结合具体的题目进行练习巩固，加深理解。

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