《线性代数思维导图》

一、 线性方程组 (Linear Equations)

• 1. 基本概念 (Basic Concepts)
     • 1. 1. 线性方程 (Linear Equation): a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b
     • 1. 2. 线性方程组 (System of Linear Equations): m个线性方程的集合
     • 1. 3. 解 (Solution): 满足所有方程的(x₁, x₂, ..., xₙ)
     • 1. 4. 解集 (Solution Set): 所有解的集合
     • 1. 5. 相容性 (Consistency): 至少有一个解；不相容 (Inconsistent): 无解
• 2. 方程组的表示 (Representation)
     • 2. 1. 增广矩阵 (Augmented Matrix): 系数矩阵 + 常数项
     • 2. 2. 系数矩阵 (Coefficient Matrix): 仅包含系数的矩阵
• 3. 求解方法 (Solving Methods)
     • 3. 1. 高斯消元法 (Gaussian Elimination):
     • 3. 1. 1. 初等行变换 (Elementary Row Operations):
                • 交换两行 (Interchange)
                • 非零常数乘某行 (Scaling)
                • 将某行乘以常数加到另一行 (Replacement)
     • 3. 1. 2. 行阶梯形矩阵 (Row Echelon Form)
     • 3. 1. 3. 简化行阶梯形矩阵 (Reduced Row Echelon Form)
     • 3. 2. 高斯-约旦消元法 (Gauss-Jordan Elimination): 直接化为简化行阶梯形
     • 3. 3. 唯一解, 无穷多解, 无解的判定 (Unique, Infinite, No Solution)

二、 矩阵代数 (Matrix Algebra)

• 1. 矩阵运算 (Matrix Operations)
     • 1. 1. 加法 (Addition): 对应元素相加 (A + B)
     • 1. 2. 数乘 (Scalar Multiplication): 所有元素乘以常数 (cA)
     • 1. 3. 矩阵乘法 (Matrix Multiplication): (AB)ᵢⱼ = Σₖ AᵢₖBₖⱼ
     • 1. 4. 转置 (Transpose): 行列互换 (Aᵀ)
     • 1. 5. 共轭转置(Conjugate Transpose): Aᴴ, 对于复矩阵先取共轭再转置.
     • 1. 6. 矩阵的幂 (Matrix Power): Aⁿ = A A ... * A (n个A)
• 2. 特殊矩阵 (Special Matrices)
     • 2. 1. 零矩阵 (Zero Matrix): 所有元素为0
     • 2. 2. 单位矩阵 (Identity Matrix): 对角线为1，其余为0 (I)
     • 2. 3. 对角矩阵 (Diagonal Matrix): 非对角线元素为0
     • 2. 4. 三角矩阵 (Triangular Matrix): 上三角/下三角矩阵
     • 2. 5. 对称矩阵 (Symmetric Matrix): A = Aᵀ
     • 2. 6. 反对称矩阵 (Skew-Symmetric Matrix): A = -Aᵀ
     • 2. 7. 正交矩阵 (Orthogonal Matrix): AᵀA = AAᵀ = I
     • 2. 8. 埃尔米特矩阵 (Hermitian Matrix): Aᴴ = A
     • 2. 9. 反埃尔米特矩阵 (Skew-Hermitian Matrix): Aᴴ = -A
     • 2. 10. 酉矩阵 (Unitary Matrix): AᴴA = AAᴴ = I
• 3. 矩阵的逆 (Matrix Inverse)
     • 3. 1. 可逆矩阵 (Invertible Matrix/Non-singular Matrix): 存在B使得AB = BA = I
     • 3. 2. 奇异矩阵 (Singular Matrix): 不可逆的矩阵
     • 3. 3. 逆的性质 (Properties of Inverse):
     • (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹
     • (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
     • 3. 4. 求逆的方法 (Finding Inverse):
     • 伴随矩阵法 (Adjugate Matrix Method): A⁻¹ = adj(A) / det(A)
     • 初等变换法 (Elementary Transformation Method): (A | I) -> (I | A⁻¹)

三、 行列式 (Determinants)

• 1. 定义 (Definition)
     • 1. 1. n阶行列式 (Determinant of order n): 一种特殊的数值函数
     • 1. 2. 余子式 (Minor): Mᵢⱼ: 去掉第i行第j列的行列式
     • 1. 3. 代数余子式 (Cofactor): Cᵢⱼ = (-1)ⁱ⁺ʲ Mᵢⱼ
• 2. 性质 (Properties)
     • 2. 1. 转置不变 (det(Aᵀ) = det(A))
     • 2. 2. 交换两行变号 (Swapping rows changes the sign)
     • 2. 3. 某行乘以常数，行列式乘以该常数 (Scalar multiplication of a row)
     • 2. 4. 两行相同，行列式为0 (Identical rows)
     • 2. 5. 某行加上另一行的倍数，行列式不变 (Adding a multiple of one row to another)
     • 2. 6. det(AB) = det(A)det(B)
• 3. 计算 (Calculation)
     • 3. 1. 按行/列展开 (Expansion by rows/columns): det(A) = Σⱼ aᵢⱼCᵢⱼ 或 det(A) = Σᵢ aᵢⱼCᵢⱼ
     • 3. 2. 化为三角矩阵 (Reducing to triangular form): 对角线元素之积
• 4. 应用 (Applications)
     • 4. 1. 判断矩阵是否可逆 (Invertibility): det(A) ≠ 0 <=> A 可逆
     • 4. 2. 克拉默法则 (Cramer's Rule): 求解线性方程组
     • 4. 3. 计算面积/体积 (Area/Volume Calculation)

四、 向量空间 (Vector Spaces)

• 1. 定义 (Definition)
     • 1. 1. 向量空间 (Vector Space): 满足特定公理的向量集合
     • 1. 2. 线性组合 (Linear Combination): c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ
     • 1. 3. 子空间 (Subspace): 向量空间的一个子集，满足加法封闭和数乘封闭
     • 1. 4. 生成子空间 (Span): 向量集合的所有线性组合构成的子空间
• 2. 线性无关性 (Linear Independence)
     • 2. 1. 线性无关 (Linearly Independent): c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ = 0 <=> c₁ = c₂ = ... = cₙ = 0
     • 2. 2. 线性相关 (Linearly Dependent): 存在非零系数使得 c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ = 0
• 3. 基与维数 (Basis and Dimension)
     • 3. 1. 基 (Basis): 线性无关的生成集
     • 3. 2. 维数 (Dimension): 基中向量的个数
     • 3. 3. 坐标 (Coordinates): 向量在特定基下的表示
• 4. 常见的向量空间 (Common Vector Spaces)
     • 4. 1. Rⁿ: n维实数向量空间
     • 4. 2. Cⁿ: n维复数向量空间
     • 4. 3. Pₙ(t): 不超过n次的多项式空间
     • 4. 4. Mₘ,ₙ: m × n 矩阵空间
• 5. 四大子空间 (Four Fundamental Subspaces)
     • 5. 1. 列空间(Column Space): C(A), A的列向量的线性组合形成的向量空间
     • 5. 2. 行空间(Row Space): C(Aᵀ), A的行向量的线性组合形成的向量空间
     • 5. 3. 零空间(Null Space): N(A), {x | Ax=0}
     • 5. 4. 左零空间(Left Null Space): N(Aᵀ), {x | Aᵀx=0}

五、 特征值与特征向量 (Eigenvalues and Eigenvectors)

• 1. 定义 (Definition)
     • 1. 1. 特征向量 (Eigenvector): Av = λv, v ≠ 0
     • 1. 2. 特征值 (Eigenvalue): λ
     • 1. 3. 特征空间 (Eigenspace): 特定特征值对应的所有特征向量的集合 + 零向量
• 2. 计算 (Calculation)
     • 2. 1. 特征方程 (Characteristic Equation): det(A - λI) = 0
     • 2. 2. 求解特征值 (Solving for eigenvalues): 解特征方程
     • 2. 3. 求解特征向量 (Solving for eigenvectors): (A - λI)v = 0
• 3. 对角化 (Diagonalization)
     • 3. 1. 可对角化 (Diagonalizable): 存在可逆矩阵P使得 P⁻¹AP = D (D为对角矩阵)
     • 3. 2. 条件 (Conditions): n × n 矩阵 A 可对角化 <=> A 有 n 个线性无关的特征向量
     • 3. 3. 对角化步骤 (Steps):
     • 求特征值
     • 求特征向量
     • 构造 P (特征向量为列向量)
     • 构造 D (特征值为对角线元素)
• 4. 应用 (Applications)
     • 4. 1. 矩阵的幂 (Matrix Power): Aⁿ = PDⁿP⁻¹
     • 4. 2. 微分方程组 (System of Differential Equations)
     • 4. 3. 马尔科夫链 (Markov Chains)
     • 4. 4. 主成分分析(PCA)

六、 正交性 (Orthogonality)

• 1. 内积 (Inner Product)
     • 1. 1. 定义 (Definition): <u, v> = uᵀv (欧几里得内积)
     • 1. 2. 性质 (Properties): 对称性, 线性性, 正定性
• 2. 正交性 (Orthogonality)
     • 2. 1. 正交向量 (Orthogonal Vectors): <u, v> = 0
     • 2. 2. 正交集 (Orthogonal Set): 集合中任意两个向量正交
     • 2. 3. 正交基 (Orthogonal Basis): 由正交向量构成的基
     • 2. 4. 规范正交基 (Orthonormal Basis): 由单位正交向量构成的基
• 3. 正交投影 (Orthogonal Projection)
     • 3. 1. 投影向量 (Projection Vector): projᵤv = (<v, u> / <u, u>)u
     • 3. 2. 正交补 (Orthogonal Complement): W⊥ = {v | <v, w> = 0 for all w ∈ W}
• 4. Gram-Schmidt 正交化 (Gram-Schmidt Process)
     • 4. 1. 将线性无关的向量组转化为正交向量组
• 5. 最小二乘法 (Least Squares)
     • 5. 1. 求解矛盾方程组 (Overdetermined Systems): Ax = b (无精确解)
     • 5. 2. 最小二乘解 (Least Squares Solution): x̂ = (AᵀA)⁻¹Aᵀb

七、 线性变换 (Linear Transformations)

• 1. 定义 (Definition)
     • 1. 1. 线性变换 (Linear Transformation): T: V -> W, 满足 T(u + v) = T(u) + T(v) 和 T(cu) = cT(u)
     • 1. 2. 核 (Kernel): ker(T) = {v ∈ V | T(v) = 0}
     • 1. 3. 像 (Image): im(T) = {w ∈ W | w = T(v) for some v ∈ V}
• 2. 矩阵表示 (Matrix Representation)
     • 2. 1. 标准矩阵 (Standard Matrix): A, 使得 T(v) = Av
     • 2. 2. 基变换 (Change of Basis): 线性变换在不同基下的矩阵表示不同
• 3. 相似矩阵 (Similar Matrices)
     • 3. 1. 定义 (Definition): A 和 B 相似 <=> 存在可逆矩阵 P 使得 B = P⁻¹AP
     • 3. 2. 性质 (Properties): 相似矩阵有相同的特征值, 行列式, 迹.