《代数思维导图》

I. 代数基础

A. 数与表达式

1. 数的分类:

   • 实数 (Real Numbers):
     • 有理数 (Rational Numbers): 可以表示为分数 p/q (p, q 是整数, q ≠ 0)
       • 整数 (Integers): ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
         • 正整数 (Positive Integers): 1, 2, 3, ...
         • 零 (Zero): 0
         • 负整数 (Negative Integers): -1, -2, -3, ...
       • 分数 (Fractions): 1/2, -3/4, 5/7, ...
       • 有限小数 (Terminating Decimals): 0.25, 1.75, ...
       • 无限循环小数 (Repeating Decimals): 0.333..., 1.142857142857..., ...
     • 无理数 (Irrational Numbers): 不能表示为分数，无限不循环小数
       • 根号数 (Surds): √2, √3, √5, ...
       • 超越数 (Transcendental Numbers): π, e, ...
   • 复数 (Complex Numbers): a + bi (a, b 是实数, i 是虚数单位, i² = -1)
     • 实部 (Real Part): a
     • 虚部 (Imaginary Part): b

2. 代数表达式 (Algebraic Expressions):

   • 单项式 (Monomials): 由数字、变量和它们的乘积组成的式子，例如 3x, -5y², ab²c。
     • 系数 (Coefficient): 单项式中数字部分，例如 3x 的系数是 3。
     • 次数 (Degree): 单项式中所有变量的指数之和，例如 ab²c 的次数是 1+2+1=4。
   • 多项式 (Polynomials): 由若干个单项式通过加减运算组成的式子，例如 x² + 2x - 1, 4a³ - 3b + 7。
     • 项 (Term): 多项式中的每个单项式。
     • 常数项 (Constant Term): 不含变量的项。
     • 次数 (Degree): 多项式中次数最高的项的次数，例如 x² + 2x - 1 的次数是 2。

3. 运算规则:

   • 加法 (Addition):
     • 交换律 (Commutative Law): a + b = b + a
     • 结合律 (Associative Law): (a + b) + c = a + (b + c)
   • 减法 (Subtraction): 减去一个数等于加上这个数的相反数。
   • 乘法 (Multiplication):
     • 交换律 (Commutative Law): a b = b a
     • 结合律 (Associative Law): (a b) c = a (b c)
     • 分配律 (Distributive Law): a (b + c) = a b + a * c
   • 除法 (Division): 除以一个数等于乘以这个数的倒数 (除数不能为零)。
   • 乘方 (Exponentiation):
     • 同底数幂相乘: a^m * a^n = a^(m+n)
     • 幂的乘方: (a^m)^n = a^(m*n)
     • 积的乘方: (ab)^n = a^n * b^n
     • 同底数幂相除: a^m / a^n = a^(m-n)
     • 零指数幂: a^0 = 1 (a ≠ 0)
     • 负指数幂: a^(-n) = 1/a^n (a ≠ 0)
   • 开方 (Root Extraction): 乘方的逆运算

B. 因式分解 (Factorization)

1. 定义: 将一个多项式分解成几个整式的积的形式。
2. 常用方法:
   • 提取公因式 (Factoring out the greatest common factor)
   • 公式法 (Using formulas):
     • 平方差公式 (Difference of squares): a² - b² = (a + b)(a - b)
     • 完全平方公式 (Perfect square trinomial): a² + 2ab + b² = (a + b)²; a² - 2ab + b² = (a - b)²
     • 立方和公式 (Sum of cubes): a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
     • 立方差公式 (Difference of cubes): a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
   • 十字相乘法 (Cross-multiplication): 用于分解二次三项式 ax² + bx + c。
   • 分组分解法 (Factoring by grouping)
   • 配方法 (Completing the square)

II. 方程与不等式

A. 方程 (Equations)

1. 线性方程 (Linear Equations):
   • 一元一次方程 (Linear equation in one variable): ax + b = 0 (a ≠ 0)
   • 解法: 移项，合并同类项，系数化为 1。
   • 多元一次方程组 (System of linear equations): 多于一个未知数，且未知数的次数都是 1 的方程组。
     • 解法: 代入消元法 (Substitution), 加减消元法 (Elimination)。
2. 二次方程 (Quadratic Equations): ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
   • 解法:
     • 直接开平方法 (Direct square root method)
     • 配方法 (Completing the square)
     • 公式法 (Quadratic formula): x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)
     • 因式分解法 (Factoring)
   • 判别式 (Discriminant): Δ = b² - 4ac
     • Δ > 0: 有两个不相等的实根。
     • Δ = 0: 有两个相等的实根。
     • Δ < 0: 没有实根 (有两个共轭复根)。
   • 韦达定理 (Vieta's formulas): x1 + x2 = -b/a, x1 * x2 = c/a (x1, x2 是方程的两个根)
3. 高次方程 (Higher-degree Equations): 可以使用因式分解、换元法等转化为低次方程求解。
4. 分式方程 (Rational Equations): 含有分式的方程，注意验根。
5. 根式方程 (Radical Equations): 含有根式的方程，注意验根。

B. 不等式 (Inequalities)

1. 线性不等式 (Linear Inequalities):
   • 一元一次不等式 (Linear inequality in one variable): ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0 (a ≠ 0)
   • 解法: 与解线性方程类似，注意不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向要改变。
   • 一元一次不等式组 (System of linear inequalities in one variable)
     • 解法: 分别解出每个不等式的解集，然后取交集。
2. 二次不等式 (Quadratic Inequalities): ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0 (a ≠ 0)
   • 解法: 先解二次方程 ax² + bx + c = 0，然后根据开口方向和根的情况确定不等式的解集。
3. 绝对值不等式 (Absolute Value Inequalities): |x| < a, |x| > a (a > 0)
   • |x| < a => -a < x < a
   • |x| > a => x < -a 或 x > a
4. 分式不等式 (Rational Inequalities):
5. 基本不等式 (Basic Inequalities):
   • 算术平均数与几何平均数不等式 (AM-GM inequality): (a + b)/2 ≥ √(ab) (a, b ≥ 0)，当且仅当 a = b 时等号成立。

III. 函数

A. 函数的概念

1. 定义: 设有两个非空集合 A 和 B，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称 f: A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y = f(x)。
2. 要素: 定义域 (Domain), 值域 (Range), 对应关系 (Correspondence).
3. 表示方法: 解析式法 (Analytical method), 图像法 (Graphical method), 列表法 (Tabular method)。

B. 常见函数

1. 线性函数 (Linear Functions): y = kx + b (k ≠ 0)
   • 斜率 (Slope): k
   • 截距 (Intercept): b
2. 二次函数 (Quadratic Functions): y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
   • 顶点式 (Vertex form): y = a(x - h)² + k, 顶点坐标 (h, k)
   • 对称轴 (Axis of symmetry): x = -b/(2a)
   • 最大值或最小值 (Maximum or minimum value)
3. 指数函数 (Exponential Functions): y = a^x (a > 0, a ≠ 1)
4. 对数函数 (Logarithmic Functions): y = logₐ(x) (a > 0, a ≠ 1, x > 0)
5. 幂函数 (Power Functions): y = x^α (α 是实数)
6. 三角函数 (Trigonometric Functions): sin(x), cos(x), tan(x), cot(x)
7. 反函数 (Inverse Functions): 将原函数的自变量与因变量互换得到的函数。

IV. 其他代数概念

A. 集合 (Sets)

1. 基本概念: 元素 (Element), 子集 (Subset), 全集 (Universal Set), 空集 (Empty Set).
2. 运算: 并集 (Union), 交集 (Intersection), 补集 (Complement).

B. 逻辑 (Logic)

1. 命题 (Proposition): 能判断真假的陈述句。
2. 连接词 (Connectives): "且"(and), "或"(or), "非"(not), "如果...那么..."(if...then...), "当且仅当"(if and only if).
3. 量词 (Quantifiers): "存在"(there exists), "任意"(for all).

C. 矩阵 (Matrices)

1. 定义: 由 m × n 个数排成的 m 行 n 列的数表。
2. 运算: 加法 (Addition), 减法 (Subtraction), 乘法 (Multiplication).

D. 数列 (Sequences)

1. 等差数列 (Arithmetic Sequence): 后一项与前一项的差为常数。
2. 等比数列 (Geometric Sequence): 后一项与前一项的比为常数。

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