《数学六上数与代数思维导图》

I. 整数

A. 整数的意义

• 1. 自然数： 表示物体个数的 1, 2, 3, …
• 2. 0： 表示一个物体也没有
• 3. 负整数： 小于 0 的整数，如 -1, -2, -3, …
• 4. 整数集合： 自然数、0 和负整数的统称

B. 整数的读法和写法

• 1. 数位顺序表： 个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位、十亿位、百亿位、千亿位…
• 2. 读法： 从高位到低位，一级一级地读，每级末尾的 0 都不读，其他数位有一个 0 或连续几个 0，都只读一个零。
• 3. 写法： 从高位到低位，一级一级地写，哪一位上一个单位也没有，就在那一位上写 0。

C. 整数的大小比较

• 1. 位数不同： 位数多的数大于位数少的数
• 2. 位数相同： 从最高位开始，依次比较每一位上的数字，直到出现不同的数字为止，数字大的数就大。

D. 整数的改写和近似数

• 1. 改写： 将多位数改写成用“万”或“亿”作单位的数，大小不变，只是单位改变。
     • 方法：去掉末尾的 4 个或 8 个 0，并在后面加上“万”或“亿”字。如果末尾不是 0，则在相应位置点上小数点，然后加上“万”或“亿”字。
• 2. 近似数：
     • 四舍五入法： 看省略的尾数部分的最高位，如果大于或等于 5，向前一位进 1，小于 5，舍去尾数。
     • 精确度： 说明近似数的精确程度。如：精确到万位，精确到百分位。

II. 分数

A. 分数的意义

• 1. 分数的定义： 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。
• 2. 分数单位： 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数。
• 3. 真分数： 分子小于分母的分数，真分数小于 1。
• 4. 假分数： 分子大于或等于分母的分数，假分数大于或等于 1。
• 5. 带分数： 由整数和真分数合成的分数，带分数大于 1。
• 6. 假分数与带分数的互化：
     • 假分数化带分数：分子除以分母，商作整数部分，余数作分子，分母不变。
     • 带分数化假分数：整数部分乘以分母加上分子作分子，分母不变。

B. 分数的基本性质

• 1. 内容： 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。
• 2. 应用： 化简分数和通分。

C. 分数的化简和通分

• 1. 化简： 把一个分数化成最简分数的过程。
     • 最简分数： 分子和分母只有公因数 1 的分数。
     • 方法：用分子和分母的公因数去除它们，直到分子和分母互质为止。
• 2. 通分： 把几个异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数的过程。
     • 公分母： 通分后的分母叫做公分母。一般取原来几个分数分母的最小公倍数作为公分母。
     • 方法：先求出原来几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数分别化成分母是这个最小公倍数的分数。

D. 分数的大小比较

• 1. 同分母分数： 分子大的分数就大。
• 2. 同分子分数： 分母小的分数就大。
• 3. 异分母分数： 先通分，化成同分母分数，再比较大小。

III. 小数

A. 小数的意义

• 1. 小数的定义： 分母是 10, 100, 1000… 的分数可以用小数表示。
• 2. 小数的组成： 整数部分、小数点、小数部分。
• 3. 计数单位： 十分位、百分位、千分位…
• 4. 小数的读法： 整数部分按照整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分从左往右依次读出每一个数字。
• 5. 小数的写法： 整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位的右下角，小数部分从左往右依次写出每一个数字。

B. 小数的性质

• 1. 内容： 小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
• 2. 应用： 化简小数和改写小数。

C. 小数的大小比较

• 1. 比较方法： 先比较整数部分，整数部分大的小数就大；如果整数部分相同，就比较小数部分，从十分位开始，依次比较每一位上的数字，直到出现不同的数字为止，数字大的小数就大。

D. 小数的改写和近似数

• 1. 改写： 将小数改写成用“万”或“亿”作单位的数，方法同整数。
• 2. 近似数： 用“四舍五入法”求近似数，方法同整数。

E. 小数、分数、百分数的互化

• 1. 小数化分数： 先把小数写成分母是 10, 100, 1000… 的分数，再化简。
• 2. 分数化小数： 用分子除以分母，除不尽时，按要求保留几位小数。
• 3. 小数化百分数： 把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
• 4. 百分数化小数： 把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
• 5. 百分数化分数： 先把百分数改写成分母是 100 的分数，再化简。
• 6. 分数化百分数： 先把分数化成小数，再把小数化成百分数。或者先把分数化成分母是100的分数。

IV. 百分数

A. 百分数的意义

• 1. 百分数的定义： 表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数，也叫做百分率或百分比。
• 2. 百分数与分数的区别：
     • 意义不同：百分数只表示两个数之间的倍数关系，不表示具体的数量；分数既可以表示两个数之间的倍数关系，也可以表示具体的数量。
     • 书写形式不同：百分数后面要带“%”，分数不用。
• 3. 常用百分率： 及格率、发芽率、出勤率、合格率等。

B. 百分数的应用

• 1. 求一个数是另一个数的百分之几： 用一个数除以另一个数，再把结果化成百分数。
• 2. 求一个数的百分之几是多少： 用这个数乘以百分数。
• 3. 已知一个数的百分之几是多少，求这个数： 用多少除以百分数。
• 4. 折扣： 商品现价是原价的百分之几。
• 5. 成数： 用“几成”表示百分之几十。
• 6. 税率： 应纳税额与各种收入（销售额、营业额……）的比率。
• 7. 利率： 利息与本金的比率。

V. 比和比例

A. 比的意义

• 1. 比的定义： 两个数相除又叫做两个数的比。
• 2. 比的各部分名称： 前项、后项、比号。
• 3. 比的读法： 读作“几比几”。
• 4. 比值： 前项除以后项所得的商，叫做比值。比值可以用整数、分数或小数表示。
• 5. 比的基本性质： 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。

B. 比例的意义

• 1. 比例的定义： 表示两个比相等的式子叫做比例。
• 2. 比例的各部分名称： 内项、外项。
• 3. 比例的基本性质： 在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积（交叉相乘）。

C. 正比例和反比例

• 1. 正比例： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
     • 表达式：y/x = k (一定)
• 2. 反比例： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
     • 表达式：x * y = k (一定)
• 3. 比例尺： 图上距离和实际距离的比。

VI. 数的运算

A. 整数、分数、小数的四则运算

• 1. 加法：
     • 整数加法：相同数位对齐，从个位算起，满十进一。
     • 分数加法：先通分，化成同分母分数，再把分子相加，分母不变。
     • 小数加法：小数点对齐，从最低位算起。
• 2. 减法：
     • 整数减法：相同数位对齐，从个位算起，不够减向前一位借一当十。
     • 分数减法：先通分，化成同分母分数，再把分子相减，分母不变。
     • 小数减法：小数点对齐，从最低位算起。
• 3. 乘法：
     • 整数乘法：用一个因数的每一位数分别去乘另一个因数，用哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就和那一位对齐，然后把各次乘得的数加起来。
     • 分数乘法：分子乘分子，分母乘分母，能约分的要先约分。
     • 小数乘法：先按照整数乘法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
• 4. 除法：
     • 整数除法：从被除数的最高位除起，如果不够除，就看前两位，除到哪一位，就把商写在哪一位的上面，每次除后余下的数必须比除数小。
     • 分数除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
     • 小数除法：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用 0 补足），然后按照除数是整数的除法进行计算。

B. 运算定律和简便计算

• 1. 加法交换律： a + b = b + a
• 2. 加法结合律： (a + b) + c = a + (b + c)
• 3. 乘法交换律： a b = b a
• 4. 乘法结合律： (a b) c = a (b c)
• 5. 乘法分配律： (a + b) c = a c + b * c

C. 混合运算

• 1. 运算顺序： 先乘除，后加减，有括号的先算括号里面的。
• 2. 简便计算： 灵活运用运算定律进行简便计算。

VII. 式与方程

A. 用字母表示数

• 1. 用字母表示数： 可以表示任何数，也可以表示数量关系。

B. 方程的意义

• 1. 方程的定义： 含有未知数的等式叫做方程。

C. 解方程

• 1. 解方程的依据： 等式的基本性质。
• 2. 解方程的方法：
     • 加法和减法： 运用加法和减法各部分之间的关系。
     • 乘法和除法： 运用乘法和除法各部分之间的关系。

D. 列方程解决问题

• 1. 解题步骤：
     • (1) 审题，找出未知数，用 x 表示。
     • (2) 分析题中的数量关系，找出等量关系。
     • (3) 根据等量关系列方程。
     • (4) 解方程。
     • (5) 检验，写答。

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