《数与代数思维导图四上》

一、整数的认识

1.1 计数单位与数位

• 计数单位: 个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿……
  • 每相邻两个计数单位之间的进率是十。
  • 最小的计数单位是“一”。
• 数位: 个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位、十亿位、百亿位、千亿位……
  • 数位顺序表： 从右往左，依次是个位、十位、百位……
• 数级: 个级（个位、十位、百位、千位），万级（万位、十万位、百万位、千万位），亿级（亿位、十亿位、百亿位、千亿位）
  • 每四个数位组成一个数级。

1.2 大数的读法和写法

• 读法:
  • 分级读数，从高位到低位，一级一级地读。
  • 亿级、万级的数，要按照个级的读法来读，再在后面加上“亿”或“万”字。
  • 每级末尾的0都不读，其他数位有一个0或连续几个0，都只读一个零。
• 写法:
  • 分级写数，从高位到低位，一级一级地写。
  • 哪一位上一个单位也没有，就用0占位。

1.3 大小的比较

• 位数不同: 位数多的数大于位数少的数。
• 位数相同: 从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大；如果最高位上的数相同，就比较下一位，以此类推，直到比较出大小。

1.4 改写和省略

• 改写:
  • 将整万、整亿数改写成用“万”或“亿”作单位的数，去掉末尾的四个或八个0，加上“万”或“亿”字。
• 省略:
  • 省略万位或亿位后面的尾数，求近似数，用“四舍五入”法。
  • 省略万位后面的尾数，看千位上的数；省略亿位后面的尾数，看千万位上的数。
  • 注意用“≈”连接。

二、角的度量

2.1 线与角

• 直线: 没有端点，可以向两端无限延伸。
• 射线: 只有一个端点，可以向一端无限延伸。
• 线段: 有两个端点，长度有限。
• 角: 从一点引出两条射线所组成的图形。
  • 角的大小与角的两边叉开的大小有关，与边的长短无关。
  • 角的符号：∠

2.2 角的度量

• 角的单位: 度（°）
• 量角器:
  • 中心点，0刻度线，内刻度线，外刻度线。
  • 量角时，量角器的中心点与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的刻度就是角的度数。
• 画角:
  • 先画一条射线，使量角器的中心点与射线的端点重合，0刻度线与射线重合。
  • 在量角器上找到所需角的度数，点一个点。
  • 从射线的端点出发，通过刚画的点，再画一条射线。

2.3 角的分类

• 锐角: 小于90°的角。
• 直角: 等于90°的角。
• 钝角: 大于90°小于180°的角。
• 平角: 等于180°的角。
• 周角: 等于360°的角。
• 关系：1周角 = 2平角 = 4直角

三、三位数乘两位数

3.1 口算乘法

• 整十、整百数乘一位数：先把0前面的数相乘，再看两个因数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。

3.2 笔算乘法

• 估算: 把两个因数都看作与它接近的整十、整百数，再进行口算。
• 笔算:
  • 从个位起，用第二个因数的每一位依次去乘第一个因数；
  • 用第二个因数的哪一位去乘，乘得的积的末位就要和那一位对齐；
  • 再把几次乘得的积加起来。
• 积的变化规律:
  • 一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积也扩大（或缩小）几倍。
  • 一个因数扩大a倍，另一个因数扩大b倍，积就扩大(a×b)倍。
  • 一个因数缩小a倍，另一个因数缩小b倍，积就缩小(a×b)倍。

3.3 常见的数量关系

• 速度 × 时间 = 路程
• 单价 × 数量 = 总价
• 工作效率 × 工作时间 = 工作总量

3.4 乘法结合律

• (a × b) × c = a × (b × c)
• 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
• 利用乘法结合律进行简便计算。

四、平行四边形和梯形

4.1 平行与垂直

• 平行线: 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
  • 平行线的特点：在同一平面内，两条平行线永远不会相交。
  • 画平行线：利用直尺和三角板。
• 垂直线: 两条直线相交成直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
  • 垂直的特点：相交成直角。
  • 画垂线：利用直尺和三角板。
• 点到直线的距离: 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离。

4.2 平行四边形

• 定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
• 特点:
  • 对边平行且相等。
  • 对角相等。
  • 容易变形。
• 高: 从平行四边形一条边上的任意一点向对边引垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。

4.3 梯形

• 定义: 只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
• 特点: 只有一组对边平行。
• 高: 从梯形一条底上的任意一点向对边引垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。
• 梯形的分类:
  • 等腰梯形: 两腰相等的梯形。
  • 直角梯形: 有一个角是直角的梯形。

五、除数是两位数的除法

5.1 口算除法

• 整十数除整十数、几百几十数：想乘法算除法。

5.2 笔算除法

• 估算: 把除数看作与它接近的整十数来试商。
• 试商:
  • 把除数看作整十数来试商。
  • 根据余数的大小调整商。
• 笔算步骤:
  • 从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位，如果前两位比除数小，就试除前三位。
  • 除到被除数的哪一位，就把商写在那一位的上面。
  • 每次除后余下的数必须比除数小。
• 商的变化规律:
  • 被除数不变，除数扩大（或缩小）几倍，商反而缩小（或扩大）几倍。
  • 除数不变，被除数扩大（或缩小）几倍，商也扩大（或缩小）几倍。
  • 被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数（0除外），商不变。

5.3 常见的数量关系

• 路程 ÷ 速度 = 时间
• 总价 ÷ 单价 = 数量
• 工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间

六、统计

6.1 条形统计图

• 了解条形统计图的特点：能清楚地表示各组数据的多少。
• 能根据统计表的数据，绘制条形统计图。
• 能根据条形统计图，进行简单的分析。

七、数学广角——优化

7.1 合理安排时间

• 明确完成每件事所需的时间。
• 合理安排，尽量节省时间，能同时做的事尽量同时做。
• 寻找最优方案，提高效率。