《五上数学数与代数思维导图》
一、小数的意义与性质
1. 小数的意义
- 本质： 分数的另一种表示形式，表示十分之几、百分之几、千分之几…的数。
- 计数单位： 十分位、百分位、千分位…以及相应的计数单位十分之一、百分之一、千分之一…。相邻两个计数单位之间的进率是10。
- 读法与写法： 整数部分按整数读法，小数点读作“点”，小数部分依次读出每一个数字。写法与读法对应。
- 数位顺序表： 明确整数部分、小数点、小数部分的数位名称及计数单位。
2. 小数的性质
- 基本性质： 小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
- 应用： 化简小数、改写小数。
- 小数大小的比较： 先比较整数部分，整数部分大的那个数大；如果整数部分相同，就从十分位开始顺次比较小数部分的数位。
- 单位换算： 高级单位换算成低级单位，乘以进率；低级单位换算成高级单位，除以进率。
- 常见进率： 1米 = 10分米 = 100厘米 = 1000毫米； 1千克 = 1000克； 1吨 = 1000千克； 1平方米 = 100平方分米 = 10000平方厘米。
- 求小数的近似数：
- 精确到某一位： 用“四舍五入”法，看保留位数后的下一位，小于5舍去，大于等于5向前一位进1。
- 改写成用“万”或“亿”作单位的数： 先找到万位或亿位，点上小数点，根据需要保留位数，再在数后加上“万”或“亿”字。
3. 数的改写
- 较大数的改写： 将不是整万或整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数，采用的方法与求近似数相同。只是需要保留两位，小数部分写为整数。
二、小数的加法和减法
1. 意义
- 加法： 将两个数合并成一个数的运算。
- 减法： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。
2. 计算法则
- 相同点： 小数点对齐，也就是相同数位对齐。
- 不同点：
- 加法： 从低位算起，满十向前一位进一。
- 减法： 从低位算起，不够减，向前一位借一当十。
- 验算： 加法用减法验算，减法用加法验算。
3. 简便计算
- 运算定律：
- 加法交换律： a + b = b + a
- 加法结合律： (a + b) + c = a + (b + c)
- 减法的性质： a - b - c = a - (b + c)； a - (b - c) = a - b + c
- 应用： 观察算式特点，灵活运用运算定律进行简便计算。例如：
- 凑整法：将两个数凑成整数。
- 拆分法：将一个数拆分成两个数的和或差。
- 变换运算顺序：利用运算定律改变运算顺序。
4. 解决问题
- 常见类型：
- 一步计算：直接用加法或减法解决。
- 两步计算：需要先求出一个中间量，再求最终结果。
- 综合问题：需要综合运用小数的加减法和简便计算。
- 审题： 认真阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。
- 分析： 分析数量关系，找到解题思路。
- 列式： 根据数量关系列出算式。
- 计算： 认真计算，注意小数点对齐。
- 检验： 检验计算结果是否正确，是否符合题意。
- 答题： 完整地回答问题。
三、小数乘法
1. 意义
- 整数乘法的意义扩展： 一个数乘小数的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。例如：1.5 × 3 表示 3个1.5的和是多少。
- 新的意义： 一个数乘小数的意义还可以表示求一个数的几分之几是多少。例如：1.5 × 0.8 表示 1.5 的十分之八是多少。
2. 计算法则
- 转化： 将小数乘法转化为整数乘法计算。
- 步骤：
- 先按照整数乘法的计算方法计算。
- 看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
- 特殊情况：
- 积的小数末尾有0，要化简。
- 位数不够时，用“0”补足。
3. 简便计算
- 运算定律：
- 乘法交换律： a × b = b × a
- 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
- 乘法分配律： (a + b) × c = a × c + b × c
- 应用： 观察算式特点，灵活运用运算定律进行简便计算。
4. 积的变化规律
- 一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）到原来的几倍，积也扩大（或缩小）到原来的几倍。
- 应用： 根据积的变化规律，可以快速计算一些相关的问题。
5. 解决问题
- 常见类型：
- 单价×数量=总价
- 速度×时间=路程
- 工作效率×工作时间=工作总量
- 解决步骤： 与小数加减法解决问题类似，审题、分析、列式、计算、检验、答题。
四、小数除法
1. 意义
- 整数除法的意义扩展： 小数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
2. 计算法则
- 除数是整数的小数除法：
- 按照整数除法的计算方法计算。
- 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
- 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”继续除。
- 除数是小数的小数除法：
- 先把除数的小数点去掉，使它变成整数。
- 看除数的小数点向右移动了几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足）。
- 然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
3. 商的变化规律
- 被除数不变，除数扩大（或缩小）到原来的几倍，商就缩小（或扩大）到原来的几分之一。
- 除数不变，被除数扩大（或缩小）到原来的几倍，商也扩大（或缩小）到原来的几倍。
4. 近似数
- 用“四舍五入”法求商的近似数： 根据需要保留的位数，除到比保留的位数多一位，然后按照“四舍五入”法求出近似数。
- 循环小数： 一个小数，从小数部分的某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
- 有限小数： 小数部分的位数是有限的小数。
- 无限小数： 小数部分的位数是无限的小数。
- 循环节： 循环小数的小数部分中依次不断重复出现的数字叫做循环节。
- 简便写法： 循环小数的简便写法是在第一个循环节的首位和末位数字上各点一个圆点。
5. 解决问题
- 常见类型：
- 单价 = 总价 ÷ 数量
- 速度 = 路程 ÷ 时间
- 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间
- 解决步骤： 与小数加减乘法解决问题类似，审题、分析、列式、计算、检验、答题。 注意根据实际情况，选择用“四舍五入”、“进一法”、“去尾法”求近似数。
五、简易方程
1. 用字母表示数
- 意义： 用字母表示数可以简明地表达数量关系、运算定律和计算公式。
- 注意事项：
- 字母和数字相乘，省略乘号，数字在前，字母在后。
- 1乘以任何字母，1省略不写，只写字母。
- 相同的字母相乘，写作字母的平方。
- 代入求值： 将字母的值代入含有字母的式子，求出式子的值。
2. 方程的意义
- 定义： 含有未知数的等式叫做方程。
- 等式： 表示相等关系的式子。
- 方程的要素： 必须是等式，并且含有未知数。
3. 等式的性质
- 性质一： 等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
- 性质二： 等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。
- 解方程的依据： 利用等式的性质，使方程变形，最终转化为x = a的形式。
4. 解方程
- 定义： 求方程的解的过程叫做解方程。
- 解： 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
- 步骤：
- 观察方程的特点。
- 利用等式的性质，逐步化简方程，使方程变形为x = a的形式。
- 检验：将求出的解代入原方程，看左右两边是否相等。
5. 列方程解决问题
- 步骤：
- 审题：理解题意，找出已知条件和所求问题。
- 找等量关系：分析数量关系，找出包含未知数的等量关系。
- 设未知数：选择合适的未知数用字母表示。
- 列方程：根据等量关系列出方程。
- 解方程：解所列出的方程，求出未知数的值。
- 检验：将求出的未知数的值代入原题，检验是否符合题意。
- 答题：完整地回答问题。
6. 常见类型：
- 和差问题
- 倍数问题
- 行程问题
- 工程问题
- 年龄问题
六、因数与倍数
1. 基本概念
- 因数： 如果a×b=c（a、b、c都是不为0的整数），那么a和b就是c的因数。
- 倍数： 如果a×b=c（a、b、c都是不为0的整数），那么c就是a和b的倍数。
- 注意： 强调在整数范围内讨论，不包括小数和分数。
2. 2、5、3的倍数的特征
- 2的倍数： 个位上是0、2、4、6、8的数。
- 5的倍数： 个位上是0或5的数。
- 3的倍数： 各个数位上的数字之和是3的倍数。
3. 质数与合数
- 质数： 只有1和它本身两个因数的数。 (1既不是质数也不是合数）
- 合数： 除了1和它本身还有其他因数的数。
- 分解质因数： 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。
4. 公因数与公倍数
- 公因数： 几个数公有的因数。
- 最大公因数： 几个数公有的因数中最大的一个。
- 公倍数： 几个数公有的倍数。
- 最小公倍数： 几个数公有的倍数中最小的一个。
- 求最大公因数和最小公倍数的方法：
- 列举法： 依次列举出各数的因数或倍数，找出公有的，再确定最大或最小的。
- 短除法： 用各数公有的质因数去除，直到所得的商互质为止。最大公因数是所有除数的乘积，最小公倍数是所有除数和商的乘积。
5. 互质数
- 互质数： 公因数只有1的两个数，叫做互质数。
- 特殊情况：
- 1和任何非0自然数都是互质数。
- 两个不同的质数一定是互质数。
- 相邻的两个自然数一定是互质数。
以上是五上数学数与代数部分的主要知识点的思维导图， 通过这个思维导图，可以帮助学生更好地理解和掌握相关知识点，提高解题能力。