《数学四年级下册思维导图》

一、运算定律与简便计算

1. 加法运算定律

1.1 加法交换律

• 内容： 两个数相加，交换加数的位置，和不变。
• 公式： a + b = b + a
• 示例： 12 + 25 = 25 + 12
• 应用： 简便计算，验算加法。

1.2 加法结合律

• 内容： 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
• 公式： (a + b) + c = a + (b + c)
• 示例： (15 + 28) + 12 = 15 + (28 + 12)
• 应用： 简便计算，凑整计算。

2. 乘法运算定律

2.1 乘法交换律

• 内容： 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。
• 公式： a × b = b × a
• 示例： 8 × 25 = 25 × 8
• 应用： 简便计算，验算乘法。

2.2 乘法结合律

• 内容： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
• 公式： (a × b) × c = a × (b × c)
• 示例： (4 × 25) × 7 = 4 × (25 × 7)
• 应用： 简便计算，凑整计算。

2.3 乘法分配律

• 内容： 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。
• 公式： (a + b) × c = a × c + b × c
• 反向公式： a × c + b × c = (a + b) × c
• 示例： (10 + 4) × 25 = 10 × 25 + 4 × 25
• 应用： 简便计算，分解数字。

3. 减法运算性质

• 内容： 一个数连续减去两个数，可以减去这两个数的和。
• 公式： a - b - c = a - (b + c)
• 示例： 100 - 23 - 27 = 100 - (23 + 27)
• 应用： 简便计算，凑整计算。

4. 除法运算性质

• 内容： 一个数连续除以两个数，可以除以这两个数的积。
• 公式： a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)
• 示例： 1000 ÷ 25 ÷ 4 = 1000 ÷ (25 × 4)
• 应用： 简便计算，凑整计算。

5. 简便计算总结

• 核心： 运用运算定律，凑整，分解，改变运算顺序。
• 技巧： 观察数字特征，灵活运用各种方法。

二、小数的意义和性质

1. 小数的意义

1.1 定义

• 概念： 用来表示十分之几、百分之几、千分之几……的数。
• 单位： 十分位、百分位、千分位……

1.2 小数的读法和写法

• 读法： 整数部分按整数读法读，小数点读作“点”，小数部分依次读出每个数字。
• 写法： 整数部分按整数写法写，小数点写在个位的右下角，小数部分依次写出每个数字。

2. 小数的性质

• 内容： 小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
• 应用： 化简小数，改变小数位数。
• 注意： 只能在小数的末尾添“0”或去掉“0”，不能在中间添“0”或去掉“0”。

3. 小数的大小比较

• 方法：
  • 先比较整数部分，整数部分大的小数就大。
  • 如果整数部分相同，就比较十分位，十分位大的小数就大。
  • 如果十分位相同，就比较百分位，以此类推。

4. 小数点的移动引起小数大小的变化

• 向右移动： 小数点向右移动一位，小数就扩大到原来的10倍；小数点向右移动两位，小数就扩大到原来的100倍；以此类推。
• 向左移动： 小数点向左移动一位，小数就缩小到原来的1/10；小数点向左移动两位，小数就缩小到原来的1/100；以此类推。

5. 单位换算

• 高级单位换算成低级单位： 乘以进率。
• 低级单位换算成高级单位： 除以进率。
• 常用单位：
  • 长度单位：千米、米、分米、厘米、毫米
  • 质量单位：吨、千克、克
  • 面积单位：平方米、平方分米、平方厘米

6. 近似数

• 定义： 与准确数很接近的数。
• 方法： 四舍五入法。
• 保留位数： 精确到哪一位，就看哪一位的后一位，进行四舍五入。

三、三角形

1. 三角形的定义

• 概念： 由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）

2. 三角形的特性

• 稳定性： 三角形具有稳定性。
• 三边关系： 任意两边之和大于第三边。

3. 三角形的分类

3.1 按角分

• 锐角三角形： 三个角都是锐角。
• 直角三角形： 有一个角是直角。
• 钝角三角形： 有一个角是钝角。

3.2 按边分

• 等腰三角形： 有两条边相等。
  • 等边三角形： 三条边都相等。
• 不等边三角形： 三条边都不相等。

4. 三角形的内角和

• 内容： 三角形的内角和是180度。

5. 图形的拼组

• 两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形或平行四边形。
• 两个完全一样的锐角三角形或钝角三角形可以拼成一个平行四边形。

四、四则运算关系

1. 加法与减法的关系

• 加法是减法的逆运算。
• 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。
• 被减数 = 差 + 减数
• 减数 = 被减数 - 差

2. 乘法与除法的关系

• 乘法是除法的逆运算。
• 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。
• 被除数 = 商 × 除数
• 除数 = 被除数 ÷ 商

3. 运算顺序

• 只有加减法或只有乘除法，从左往右依次计算。
• 既有加减法又有乘除法，先算乘除法，后算加减法。
• 有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。

五、位置与方向

1. 方向的描述

• 八个方向： 东、南、西、北、东北、东南、西北、西南。
• 角度的测量： 用量角器测量方向与正北或正南方向的夹角。

2. 位置的确定

• 方向与距离： 用方向和距离确定物体的位置。
• 坐标： 使用数对表示位置。

六、统计

1. 平均数

• 定义： 是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。
• 公式： 平均数 = 总数量 ÷ 总份数
• 作用： 能够反映一组数据的总体水平。

2. 条形统计图

• 作用： 能够直观地表示出各种数据的多少。
• 特点： 容易比较数据之间的大小。
• 制作步骤：
  • 确定横轴和纵轴表示的含义。
  • 确定单位长度表示的数量。
  • 根据数据绘制条形。

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