《数学九年级思维导图》
I. 数与式
A. 实数
- 1. 定义:
- 有理数：有限小数或无限循环小数
- 无理数：无限不循环小数
- 2. 分类:
- 正实数
- 0
- 负实数
- 3. 性质:
- 相反数：只有符号不同的两个数。a的相反数是-a。
- 绝对值：数轴上表示数的点到原点的距离。 |a| = a (a≥0); |a| = -a (a<0)
- 倒数：乘积为1的两个数互为倒数。a的倒数是1/a (a≠0)
- 4. 运算:
- 加法、减法、乘法、除法、乘方、开方
- 运算顺序：先乘方开方，再乘除，后加减，有括号先算括号内。
- 运算律：交换律、结合律、分配律
- 5. 考点:
- 实数的分类
- 绝对值的化简
- 实数的运算
- 近似数与有效数字
B. 代数式
- 1. 定义:
- 单项式：由数与字母的积组成的代数式。
- 多项式：几个单项式的和。
- 整式：单项式和多项式统称为整式。
- 分式：含有未知数且未知数在分母上的代数式。
- 代数式：用运算符号将数和字母连接起来的式子。
- 2. 运算:
- 整式的加减：合并同类项 (系数相加减，字母和字母的指数不变)
- 整式的乘法：
- 单项式乘以单项式
- 单项式乘以多项式
- 多项式乘以多项式
- 整式的除法：
- 单项式除以单项式
- 多项式除以单项式
- 3. 乘法公式:
- 平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b²
- 完全平方公式：(a±b)² = a² ± 2ab + b²
- 4. 因式分解:
- 提公因式法
- 公式法 (平方差、完全平方)
- 分组分解法
- 十字相乘法 (简单二次三项式)
- 5. 分式:
- 分式的基本性质：分子分母同乘或除以一个不为零的数，分式的值不变。
- 分式的运算：加减法 (先通分，再加减); 乘除法 (分子分母分别相乘除)
- 分式方程：
- 定义：分母中含有未知数的方程。
- 解法：去分母，化为整式方程，求出解，验根。
- 6. 考点:
- 代数式的化简求值
- 因式分解的应用
- 分式的化简求值
- 解分式方程及应用
II. 方程与不等式
A. 一元二次方程
- 1. 定义:
- 一般形式：ax² + bx + c = 0 (a≠0)
- 2. 解法:
- 直接开平方法
- 配方法
- 公式法：x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
- 因式分解法
- 3. 判别式:
- Δ = b² - 4ac
- Δ > 0，有两个不相等的实数根
- Δ = 0，有两个相等的实数根
- Δ < 0，没有实数根
- 4. 根与系数的关系 (韦达定理):
- x₁ + x₂ = -b/a
- x₁x₂ = c/a
- 5. 应用:
- 列方程解应用题
- 判断根的情况
- 已知根求参数
- 6. 考点:
- 解方程
- 根的判别式
- 韦达定理的应用
- 应用题
B. 二元一次方程组
- 1. 定义:
- 含有两个未知数，且每个未知数的次数都是1的方程组。
- 2. 解法:
- 代入消元法
- 加减消元法
- 3. 应用:
- 列方程组解应用题
- 4. 考点:
- 解方程组
- 应用题
C. 一元一次不等式(组)
- 1. 定义:
- 含有未知数，且未知数的次数是1的不等式。
- 2. 解法:
- 移项、合并同类项、系数化为1 (注意：乘或除以负数，要改变不等号方向)
- 3. 不等式组:
- 解法：分别解出每个不等式的解集，取交集。
- 4. 应用:
- 列不等式(组)解应用题
- 5. 考点:
- 解不等式(组)
- 应用题
- 解集的表示
III. 函数
A. 一次函数
- 1. 定义:
- y = kx + b (k≠0)
- 2. 图象:
- 直线
- 3. 性质:
- k > 0，y随x增大而增大 (单调递增)
- k < 0，y随x增大而减小 (单调递减)
- b是图象与y轴的交点坐标
- 4. 解析式:
- 待定系数法
- 5. 应用:
- 解决实际问题
- 6. 考点:
- 图像与性质
- 解析式的确定
- 实际应用
B. 反比例函数
- 1. 定义:
- y = k/x (k≠0)
- 2. 图象:
- 双曲线
- 3. 性质:
- k > 0，图象位于一、三象限
- k < 0，图象位于二、四象限
- 在每个象限内，y随x的变化趋势与k有关。
- 4. 解析式:
- 待定系数法
- 5. 应用:
- 解决实际问题
- 6. 考点:
- 图像与性质
- 解析式的确定
- 实际应用
C. 二次函数
- 1. 定义:
- y = ax² + bx + c (a≠0)
- 2. 图象:
- 抛物线
- 3. 性质:
- a > 0，开口向上，有最小值
- a < 0，开口向下，有最大值
- 对称轴：x = -b/2a
- 顶点坐标：(-b/2a, (4ac-b²)/4a)
- 4. 解析式:
- 一般式：y = ax² + bx + c
- 顶点式：y = a(x-h)² + k (顶点坐标(h,k))
- 交点式：y = a(x-x₁)(x-x₂) (与x轴交点坐标(x₁,0),(x₂,0))
- 5. 应用:
- 解决实际问题 (最大值、最小值问题)
- 6. 考点:
- 图像与性质
- 解析式的确定
- 最值问题
- 与x轴的交点
IV. 几何
A. 相似三角形
- 1. 定义:
- 对应角相等，对应边成比例的三角形。
- 2. 判定:
- 平行于三角形一边的直线，截其他两边，所得的三角形与原三角形相似。
- 两角对应相等的两个三角形相似。
- 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
- 三边对应成比例的两个三角形相似。
- 3. 性质:
- 对应角相等
- 对应边成比例
- 相似三角形的周长比等于相似比
- 相似三角形的面积比等于相似比的平方
- 4. 应用:
- 测量
- 证明
- 5. 考点:
- 判定三角形相似
- 利用相似三角形的性质求解
- 实际应用
B. 解直角三角形
- 1. 定义:
- 直角三角形中，除直角外，已知一些元素，求其他元素的过程。
- 2. 锐角三角函数:
- 正弦：sinA = 对边/斜边
- 余弦：cosA = 邻边/斜边
- 正切：tanA = 对边/邻边
- 3. 特殊角的三角函数值:
- 30°，45°，60°
- 4. 关系:
- sin²A + cos²A = 1
- tanA = sinA/cosA
- 5. 应用:
- 仰角、俯角
- 坡度、坡角
- 方位角
- 6. 考点:
- 三角函数的定义
- 解直角三角形
- 实际应用
C. 圆
- 1. 定义:
- 到定点的距离等于定长的点的集合。
- 2. 基本概念:
- 圆心、半径、直径、弦、弧、圆心角、圆周角
- 3. 性质:
- 垂径定理及其推论
- 圆心角、弧、弦的关系
- 圆周角定理及其推论
- 4. 位置关系:
- 点与圆：点在圆内、圆上、圆外
- 直线与圆：相交、相切、相离
- 圆与圆：外离、外切、相交、内切、内含
- 5. 切线的判定与性质:
- 切线的判定：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
- 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
- 6. 弧长与扇形面积:
- 弧长：l = nπr/180
- 扇形面积：S = nπr²/360
- 7. 圆锥:
- 侧面积：S = πrl (l为母线长)
- 8. 考点:
- 圆的性质
- 切线的判定与性质
- 弧长与扇形面积
- 圆的综合题
V. 统计与概率
A. 数据的收集、整理与描述
- 1. 数据的收集:
- 普查、抽样调查
- 2. 数据的整理:
- 频数、频率
- 3. 数据的描述:
- 统计表、条形统计图、扇形统计图、折线统计图
- 4. 统计量的计算:
- 平均数、中位数、众数、方差、标准差
- 5. 考点:
- 统计图表的分析
- 统计量的计算
- 样本与总体
B. 概率
- 1. 定义:
- 事件发生的可能性的大小。
- 2. 计算:
- 古典概型：P(A) = 事件A发生的可能的结果数 / 所有可能的结果总数
- 用频率估计概率
- 3. 考点:
- 概率的计算
- 公平性判断
- 实际应用