《五年级小数除法思维导图》

一、 概念理解

• 1.1 小数除法的意义:

  • 与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
  • 也表示把一个数平均分成若干份，求每份是多少。

• 1.2 小数除法的分类（按除数性质分）:

  • 除数是整数的小数除法:
    • 直接按照整数除法的方法进行计算。
    • 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
    • 如果有余数，要添0继续除。
  • 除数是小数的小数除法:
    • 利用商不变的性质，将除数转化为整数。
    • 具体方法是：把除数和被除数同时扩大相同的倍数（通常是10、100、1000倍），使除数变成整数。
    • 移动小数点时要注意，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位，位数不够的用“0”补足。

• 1.3 商的变化规律:

  • 被除数不变，除数扩大（或缩小）n倍，商就缩小（或扩大）n倍。
  • 除数不变，被除数扩大（或缩小）n倍，商就扩大（或缩小）n倍。
  • 被除数和除数同时扩大（或缩小）n倍，商不变。

二、 计算方法

• 2.1 除数是整数的小数除法:

  • 步骤:
    • (1) 按照整数除法的方法去除；
    • (2) 商的小数点要和被除数的小数点对齐；
    • (3) 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除；
    • (4) 如果整数部分不够除，商0，点上小数点，再继续除。
  • 注意事项:
    • 小数点对齐是关键。
    • 每次除后余下的数要小于除数。
    • 必要时添0继续除。

• 2.2 除数是小数的小数除法:

  • 步骤:
    • (1) 先移动除数的小数点，使它变成整数；
    • (2) 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足）；
    • (3) 然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
  • 注意事项:
    • 移动小数点是关键。
    • 移动的位数要一致。
    • 位数不够要用“0”补足。

• 2.3 商的近似数:

  • 意义: 由于实际需要，有时不需要求出精确的商，只要算出商的近似值就可以了。
  • 方法:
    • (1) 先按小数除法的方法除到要保留的位数多一位；
    • (2) 再按照“四舍五入”法取商的近似值。
  • 取值方法:
    • 四舍五入法: 看保留位数的后一位，大于等于5就进1，小于5就舍去。
    • 进一法: 无论保留位数的后一位是多少，都进1。（通常用于解决实际问题，如装东西、运东西等）。
    • 去尾法: 无论保留位数的后一位是多少，都舍去。（通常用于解决实际问题，如做衣服、买材料等）。

• 2.4 循环小数:

  • 定义: 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
  • 循环节: 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
  • 简便记法: 循环小数的简便写法是在第一个循环节的首位和末位数字上各点一个圆点。循环节只有一个数字，就在这个数字上点一个圆点。
  • 有限小数和无限小数:
    • 小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。
    • 小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。
    • 循环小数是无限小数。

三、 解决问题

• 3.1 估算:

  • 在解决实际问题时，有时不需要算出精确的结果，只需要进行估算，估计出大致的范围。
  • 估算时，通常把被除数和除数都看成与它们比较接近的整数或整十、整百数。

• 3.2 实际问题:

  • 单价、数量、总价的关系: 总价 ÷ 数量 = 单价；总价 ÷ 单价 = 数量；单价 × 数量 = 总价。
  • 行程问题: 路程 ÷ 时间 = 速度；路程 ÷ 速度 = 时间；速度 × 时间 = 路程。
  • 平均数问题: 总数 ÷ 份数 = 平均数。
  • 注意:
    • 认真分析题意，弄清数量关系。
    • 根据数量关系列出算式。
    • 注意单位名称。
    • 计算时要细心。
    • 结果要符合实际。

• 3.3 归一问题和归总问题:

  • 归一问题: 先求出单一量，再求出总数量。
  • 归总问题: 先求出总数量，再求出单一量。
  • 关键: 找到不变的量，例如总价或单价。

四、 易错点

• 4.1 小数点的位置:

  • 计算时，忘记对齐小数点，导致计算错误。
  • 移动小数点时，忘记移动被除数的小数点或移动的位数不一致。

• 4.2 余数处理:

  • 当除到被除数的末尾仍有余数时，忘记添0继续除。
  • 添0时，位置错误。

• 4.3 商的近似数:

  • 忘记按照“四舍五入”法取商的近似值。
  • 取值时，保留位数错误。
  • 不能根据实际情况选择合适的取值方法（四舍五入、进一法、去尾法）。

• 4.4 循环小数:

  • 对循环小数的定义理解不透彻。
  • 循环节的确定错误。
  • 简便记法书写错误。

• 4.5 单位名称:

  • 忘记写单位名称。
  • 单位名称书写错误。

五、 技巧总结

• 5.1 转化思想: 将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法。
• 5.2 数形结合: 利用线段图等方式帮助理解题意，分析数量关系。
• 5.3 验算: 计算完成后，进行验算，检查计算结果是否正确。
• 5.4 多练习: 熟能生巧，通过大量的练习，提高计算速度和准确率。
• 5.5 错题本: 建立错题本，记录易错题，并进行分析，避免再次犯同样的错误。