《八年级数学思维导图》

一、数与式

1.1 实数

• 概念:
  • 有理数: 整数(正整数, 0, 负整数), 分数(正分数, 负分数)
  • 无理数: 无限不循环小数, 常见类型(根号型, π型)
  • 实数: 有理数 + 无理数
• 分类:
  • 按定义分: 正实数, 0, 负实数
  • 按性质分: 正实数, 负实数
• 性质:
  • 相反数: a 和 -a
  • 绝对值: |a| (a>=0, |a|=a; a<0, |a|=-a)
  • 倒数: a (a≠0) 的倒数为 1/a
• 运算:
  • 加法, 减法, 乘法, 除法, 乘方, 开方
  • 运算律: 交换律, 结合律, 分配律
• 平方根、算术平方根、立方根:
  • 平方根：如果 x² = a, 那么 x 叫做 a 的平方根。
  • 算术平方根：正数的正的平方根叫做算术平方根。
  • 立方根：如果 x³ = a, 那么 x 叫做 a 的立方根。
• 非负性：
  • |a| ≥ 0, a² ≥ 0, √a ≥ 0 (a ≥ 0)

1.2 代数式

• 概念:
  • 单项式: 数字与字母的积 (单独一个数或一个字母也是单项式)
  • 多项式: 几个单项式的和
  • 整式: 单项式和多项式统称整式
  • 分式: A/B (B中含有字母，且B≠0)
  • 代数式: 用运算符号连接数字、字母得到的式子
• 运算:
  • 整式加减: 合并同类项
  • 整式乘除:
    • 同底数幂的乘法：aᵐ * aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
    • 幂的乘方：(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
    • 积的乘方：(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
    • 同底数幂的除法：aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a≠0, m>n)
    • 平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b²
    • 完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b², (a-b)² = a² - 2ab + b²
• 因式分解:
  • 提公因式法
  • 公式法(平方差公式, 完全平方公式)
  • 分组分解法
  • 十字相乘法(简单形式)

1.3 分式

• 概念:
  • 分式: A/B (B中含有字母，且B≠0)
  • 最简分式: 分子分母没有公因式的分式
• 性质:
  • 基本性质: 分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。
• 运算:
  • 分式加减: 先通分，再计算
  • 分式乘除: 乘法:分子乘分子,分母乘分母; 除法: 除以一个分式等于乘以这个分式的倒数
  • 分式方程:
    • 概念：分母中含有未知数的方程
    • 解法：去分母（方程两边同乘最简公分母）→ 解整式方程 → 检验（代入最简公分母，看是否为0，是0则为增根，要舍去）

二、方程与不等式

2.1 一元一次不等式

• 概念:
  • 不等式及其基本性质
  • 一元一次不等式: 只含有一个未知数, 未知数的最高次数是1
  • 解集: 使不等式成立的未知数的值的集合
  • 解不等式：求不等式解集的过程
• 解法:
  • 移项, 合并同类项, 系数化为1 (注意: 乘以或除以负数要改变不等号方向)
• 不等式组:
  • 解集：各不等式解集的公共部分
  • 口诀: 大大取较大, 小小取较小, 大小小大取中间, 大大小小无解

2.2 二元一次方程组

• 概念:
  • 二元一次方程: 含有两个未知数, 未知数的最高次数是1
  • 二元一次方程组: 由两个二元一次方程组成的方程组
  • 方程的解: 满足方程的未知数的值
  • 方程组的解: 同时满足方程组中所有方程的解
• 解法:
  • 代入消元法
  • 加减消元法
• 应用:
  • 行程问题
  • 工程问题
  • 分配问题

2.3 一元一次不等式组的应用

• 解题步骤：
  • 审题，设未知数，列不等式组，解不等式组，检验并作答。
• 注意：
  • 关注题中的关键词语，如“至少”、“至多”、“不大于”、“不小于”等。

三、几何图形

3.1 三角形

• 概念:
  • 边, 角, 顶点, 高, 中线, 角平分线
• 性质:
  • 三角形内角和定理: 三角形三个内角和等于180°
  • 三角形三边关系: 两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边
  • 三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
  • 三角形分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
• 特殊三角形:
  • 等腰三角形: 两边相等
  • 等边三角形: 三边相等
  • 直角三角形: 含有直角
• 全等三角形:
  • 概念: 能够完全重合的两个三角形
  • 判定: SSS, SAS, ASA, AAS, HL (直角三角形)
  • 性质: 对应边相等, 对应角相等
• 角平分线的性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等。
• 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

3.2 四边形

• 概念:
  • 边, 角, 顶点, 对角线
• 多边形内角和： (n-2) * 180°
• 特殊四边形:
  • 平行四边形: 两组对边分别平行
  • 矩形: 有一个角是直角的平行四边形
  • 菱形: 四边相等的平行四边形
  • 正方形: 四边相等, 四个角都是直角的四边形
  • 梯形：只有一组对边平行的四边形。
  • 等腰梯形：两腰相等的梯形。
• 性质与判定:
  • 平行四边形性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。
  • 矩形性质：具有平行四边形的所有性质，四个角都是直角，对角线相等。
  • 菱形性质：具有平行四边形的所有性质，四条边都相等，对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角。
  • 正方形性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。
  • 判定: 各种特殊四边形的判定方法

3.3 图形的轴对称

• 轴对称图形: 沿一条直线折叠, 直线两旁的部分能够完全重合的图形
• 轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
• 常见的轴对称图形: 线段, 角, 等腰三角形, 等边三角形, 矩形, 菱形, 正方形, 圆
• 中心对称图形：在平面内，如果把一个图形绕着某个点旋转180°后能与自身重合，那么就说这个图形是中心对称图形。
• 常见的中心对称图形: 线段, 平行四边形, 矩形, 菱形, 正方形, 圆
• 注意：等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形。平行四边形是中心对称图形，但一般不是轴对称图形。

四、数据分析

4.1 数据的收集与整理

• 调查方式:
  • 普查
  • 抽样调查
• 数据整理:
  • 频数分布表
  • 频率分布表
  • 条形图
  • 扇形图
  • 折线图

4.2 数据的描述

• 平均数: 所有数据的和除以数据的个数
• 中位数: 将数据从小到大排列, 最中间的数据 (数据个数为偶数时, 取中间两个数的平均数)
• 众数: 出现次数最多的数据
• 方差: 各数据与平均数的差的平方的平均数。
• 标准差: 方差的算术平方根。
• 加权平均数：将各个数据乘以相应的权，然后加起来，再除以权的总和。

4.3 数据的分析

• 用样本估计总体: 利用样本的平均数, 方差, 标准差等统计量估计总体的平均数, 方差, 标准差等统计量
• 判断数据波动性：方差或标准差越大，数据波动性越大；方差或标准差越小，数据波动性越小。
• 合理决策：根据数据分析的结果，进行合理的判断和决策。