八年级数学思维导图

# 《八年级数学思维导图》 ## 一、数与式 ### 1.1 实数 * **概念:** * 有理数: 整数(正整数, 0, 负整数), 分数(正分数, 负分数) * 无理数: 无限不循环小数, 常见类型(根号型, π型) * 实数: 有理数 + 无理数 * **分类:** * 按定义分: 正实数, 0, 负实数 * 按性质分: 正实数, 负实数 * **性质:** * 相反数: a 和 -a * 绝对值: |a| (a>=0, |a|=a; a<0, |a|=-a) * 倒数: a (a≠0) 的倒数为 1/a * **运算:** * 加法, 减法, 乘法, 除法, 乘方, 开方 * 运算律: 交换律, 结合律, 分配律 * **平方根、算术平方根、立方根:** * 平方根：如果 x² = a, 那么 x 叫做 a 的平方根。 * 算术平方根：正数的正的平方根叫做算术平方根。 * 立方根：如果 x³ = a, 那么 x 叫做 a 的立方根。 * **非负性：** * |a| ≥ 0, a² ≥ 0, √a ≥ 0 (a ≥ 0) ### 1.2 代数式 * **概念:** * 单项式: 数字与字母的积 (单独一个数或一个字母也是单项式) * 多项式: 几个单项式的和 * 整式: 单项式和多项式统称整式 * 分式: A/B (B中含有字母，且B≠0) * 代数式: 用运算符号连接数字、字母得到的式子 * **运算:** * 整式加减: 合并同类项 * 整式乘除: * 同底数幂的乘法：aᵐ * aⁿ = aᵐ⁺ⁿ * 幂的乘方：(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ * 积的乘方：(ab)ⁿ = aⁿbⁿ * 同底数幂的除法：aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a≠0, m>n) * 平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b² * 完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b², (a-b)² = a² - 2ab + b² * **因式分解:** * 提公因式法 * 公式法(平方差公式, 完全平方公式) * 分组分解法 * 十字相乘法(简单形式) ### 1.3 分式 * **概念:** * 分式: A/B (B中含有字母，且B≠0) * 最简分式: 分子分母没有公因式的分式 * **性质:** * 基本性质: 分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。 * **运算:** * 分式加减: 先通分，再计算 * 分式乘除: 乘法:分子乘分子,分母乘分母; 除法: 除以一个分式等于乘以这个分式的倒数 * 分式方程: * 概念：分母中含有未知数的方程 * 解法：去分母（方程两边同乘最简公分母）→ 解整式方程 → 检验（代入最简公分母，看是否为0，是0则为增根，要舍去） ## 二、方程与不等式 ### 2.1 一元一次不等式 * **概念:** * 不等式及其基本性质 * 一元一次不等式: 只含有一个未知数, 未知数的最高次数是1 * 解集: 使不等式成立的未知数的值的集合 * 解不等式：求不等式解集的过程 * **解法:** * 移项, 合并同类项, 系数化为1 (注意: 乘以或除以负数要改变不等号方向) * **不等式组:** * 解集：各不等式解集的公共部分 * 口诀: 大大取较大, 小小取较小, 大小小大取中间, 大大小小无解 ### 2.2 二元一次方程组 * **概念:** * 二元一次方程: 含有两个未知数, 未知数的最高次数是1 * 二元一次方程组: 由两个二元一次方程组成的方程组 * 方程的解: 满足方程的未知数的值 * 方程组的解: 同时满足方程组中所有方程的解 * **解法:** * 代入消元法 * 加减消元法 * **应用:** * 行程问题 * 工程问题 * 分配问题 ### 2.3 一元一次不等式组的应用 * **解题步骤：** * 审题，设未知数，列不等式组，解不等式组，检验并作答。 * **注意：** * 关注题中的关键词语，如“至少”、“至多”、“不大于”、“不小于”等。 ## 三、几何图形 ### 3.1 三角形 * **概念:** * 边, 角, 顶点, 高, 中线, 角平分线 * **性质:** * 三角形内角和定理: 三角形三个内角和等于180° * 三角形三边关系: 两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边 * 三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 * 三角形分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 * **特殊三角形:** * 等腰三角形: 两边相等 * 等边三角形: 三边相等 * 直角三角形: 含有直角 * **全等三角形:** * 概念: 能够完全重合的两个三角形 * 判定: SSS, SAS, ASA, AAS, HL (直角三角形) * 性质: 对应边相等, 对应角相等 * **角平分线的性质：** 角平分线上的点到角两边的距离相等。 * **线段垂直平分线的性质：**线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 ### 3.2 四边形 * **概念:** * 边, 角, 顶点, 对角线 * **多边形内角和：** (n-2) * 180° * **特殊四边形:** * 平行四边形: 两组对边分别平行 * 矩形: 有一个角是直角的平行四边形 * 菱形: 四边相等的平行四边形 * 正方形: 四边相等, 四个角都是直角的四边形 * 梯形：只有一组对边平行的四边形。 * 等腰梯形：两腰相等的梯形。 * **性质与判定:** * 平行四边形性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。 * 矩形性质：具有平行四边形的所有性质，四个角都是直角，对角线相等。 * 菱形性质：具有平行四边形的所有性质，四条边都相等，对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角。 * 正方形性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。 * 判定: 各种特殊四边形的判定方法 ### 3.3 图形的轴对称 * **轴对称图形:** 沿一条直线折叠, 直线两旁的部分能够完全重合的图形 * **轴对称的性质：**对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 * **常见的轴对称图形:** 线段, 角, 等腰三角形, 等边三角形, 矩形, 菱形, 正方形, 圆 * **中心对称图形：**在平面内，如果把一个图形绕着某个点旋转180°后能与自身重合，那么就说这个图形是中心对称图形。 * **常见的中心对称图形:** 线段, 平行四边形, 矩形, 菱形, 正方形, 圆 * **注意：**等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形。平行四边形是中心对称图形，但一般不是轴对称图形。 ## 四、数据分析 ### 4.1 数据的收集与整理 * **调查方式:** * 普查 * 抽样调查 * **数据整理:** * 频数分布表 * 频率分布表 * 条形图 * 扇形图 * 折线图 ### 4.2 数据的描述 * **平均数:** 所有数据的和除以数据的个数 * **中位数:** 将数据从小到大排列, 最中间的数据 (数据个数为偶数时, 取中间两个数的平均数) * **众数:** 出现次数最多的数据 * **方差:** 各数据与平均数的差的平方的平均数。 * **标准差:** 方差的算术平方根。 * **加权平均数：**将各个数据乘以相应的权，然后加起来，再除以权的总和。 ### 4.3 数据的分析 * **用样本估计总体:** 利用样本的平均数, 方差, 标准差等统计量估计总体的平均数, 方差, 标准差等统计量 * **判断数据波动性：**方差或标准差越大，数据波动性越大；方差或标准差越小，数据波动性越小。 * **合理决策：**根据数据分析的结果，进行合理的判断和决策。

上一个主题： 西游记思维导图 下一个主题： 三年级英语思维导图A3纸