5年级数学上册第6单元思维导图

# 《5年级数学上册第6单元思维导图》

## 一、多边形的面积

### 1. 平行四边形的面积

*   **概念:** 底乘以高
*   **公式:** S = a × h (S=面积, a=底, h=高)
*   **推导:** 通过割补法将平行四边形转化为长方形，长方形面积=长×宽，平行四边形的底=长方形的长，平行四边形的高=长方形的宽
*   **重点:** 找到对应底边上的高。注意高必须垂直于底。
*   **难点:** 当平行四边形倾斜较大时，如何找到对应的高。
*   **例题:** 已知平行四边形的底是8cm，高是5cm，求面积。 S = 8cm × 5cm = 40平方厘米
*   **拓展:** 等底等高的平行四边形面积相等。

### 2. 三角形的面积

*   **概念:** 底乘以高除以二
*   **公式:** S = a × h ÷ 2 (S=面积, a=底, h=高)
*   **推导:** 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形的底=平行四边形的底，三角形的高=平行四边形的高，三角形的面积=平行四边形面积的一半。
*   **重点:** 找到对应底边上的高。钝角三角形的高可能在三角形外部。
*   **难点:** 钝角三角形如何找到高。
*   **例题:** 已知三角形的底是6cm，高是4cm，求面积。 S = 6cm × 4cm ÷ 2 = 12平方厘米
*   **拓展:** 等底等高的三角形面积相等。

### 3. 梯形的面积

*   **概念:** （上底+下底）乘以高除以二
*   **公式:** S = (a + b) × h ÷ 2 (S=面积, a=上底, b=下底, h=高)
*   **推导:** 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，梯形的上底+下底=平行四边形的底，梯形的高=平行四边形的高，梯形的面积=平行四边形面积的一半。
*   **重点:** 区分上底、下底和高。
*   **难点:** 等腰梯形、直角梯形的面积计算。
*   **例题:** 已知梯形的上底是4cm，下底是6cm，高是5cm，求面积。 S = (4cm + 6cm) × 5cm ÷ 2 = 25平方厘米
*   **拓展:** 当梯形上底等于下底时，梯形变成平行四边形。当梯形上底为0时，梯形变成三角形。

### 4. 组合图形的面积

*   **概念:** 由几个简单的图形组合而成的图形。
*   **方法:**
    *   **分割法:** 将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算面积，然后相加。
    *   **添补法:** 将组合图形添补成一个完整的图形，计算完整图形的面积，再减去添补部分的面积。
*   **重点:** 选择合适的分割或添补方法。
*   **难点:** 如何分割或添补才能使计算简便。
*   **例题:** 一个图形由一个长方形和一个三角形组成，长方形长8cm，宽5cm，三角形底6cm，高4cm，求整个图形的面积。 长方形面积 = 8cm × 5cm = 40平方厘米，三角形面积 = 6cm × 4cm ÷ 2 = 12平方厘米，总面积 = 40平方厘米 + 12平方厘米 = 52平方厘米。
*   **关键:** 分析图形的组成，选择合适的方法，注意公共边的长度。

## 二、解决问题

### 1. 利用面积公式解决实际问题

*   **思路:** 根据题目信息，确定已知条件和所求问题，选择合适的面积公式进行计算。
*   **重点:** 理解题意，正确选择面积公式。
*   **难点:** 复杂图形的面积计算。
*   **例题:** 一块平行四边形菜地，底长12米，高8米，如果每平方米可以收蔬菜5千克，这块菜地一共可以收蔬菜多少千克？ 面积 = 12米 × 8米 = 96平方米， 总产量 = 96平方米 × 5千克/平方米 = 480千克。

### 2. 面积计算的变形应用

*   **已知面积，求底或高:**
    *   平行四边形: a = S ÷ h, h = S ÷ a
    *   三角形: a = S × 2 ÷ h, h = S × 2 ÷ a
    *   梯形: h = S × 2 ÷ (a + b), (a + b) = S × 2 ÷ h
*   **重点:** 理解面积公式的变形。
*   **难点:** 梯形公式变形的应用。
*   **例题:** 一个三角形的面积是24平方厘米，底是8厘米，高是多少厘米？ h = 24平方厘米 × 2 ÷ 8厘米 = 6厘米。

### 3. 组合图形在生活中的应用

*   **思路:** 将生活中的实际问题抽象成几何问题，利用面积公式解决问题。
*   **重点:** 将实际问题转化为数学问题。
*   **难点:** 如何将复杂的问题分解成简单的步骤。
*   **例题:** 一面墙的形状如下图，粉刷这面墙需要多少油漆？（给出墙的形状，并标注尺寸） 首先将墙分割成一个长方形和一个三角形，分别计算面积，然后相加，最后根据每平方米油漆用量，计算总用量。

## 三、单元知识点总结

1.  **基本图形面积公式:** 平行四边形、三角形、梯形面积公式的记忆和应用。
2.  **面积公式的推导过程:** 理解面积公式的推导过程，能够解释公式的来源。
3.  **组合图形的面积计算:** 掌握分割法和添补法，灵活应用。
4.  **面积计算的应用:** 能够运用面积公式解决实际问题。
5.  **转化思想:** 将不规则图形转化为规则图形，将复杂问题转化为简单问题。
6.  **注意单位:** 计算面积时要注意单位的统一。

## 四、易错点提醒

1.  **平行四边形、三角形、梯形的高的确定：** 容易找错高，特别是钝角三角形和特殊平行四边形的高。
2.  **忘记除以2：** 计算三角形和梯形面积时，容易忘记除以2。
3.  **单位不统一：** 计算前要确保单位统一。
4.  **组合图形分割错误：** 分割组合图形时，要尽量分割成规则图形，避免出现无法计算面积的图形。
5.  **实际问题理解偏差：** 审题不清，导致选择错误的公式或计算方法。

## 五、拓展提升

1.  **不规则图形面积的估算：** 可以用数方格的方法估算不规则图形的面积。
2.  **割补法的灵活运用：** 尝试用不同的方法分割或添补组合图形，比较计算的简便程度。
3.  **与实际生活联系：** 寻找生活中更多与面积计算相关的实际问题，并尝试解决。

《5年级数学上册第6单元思维导图》

一、多边形的面积

1. 平行四边形的面积

概念: 底乘以高
公式: S = a × h (S=面积, a=底, h=高)
推导: 通过割补法将平行四边形转化为长方形，长方形面积=长×宽，平行四边形的底=长方形的长，平行四边形的高=长方形的宽
重点: 找到对应底边上的高。注意高必须垂直于底。
难点: 当平行四边形倾斜较大时，如何找到对应的高。
例题: 已知平行四边形的底是8cm，高是5cm，求面积。 S = 8cm × 5cm = 40平方厘米
拓展: 等底等高的平行四边形面积相等。

2. 三角形的面积

概念: 底乘以高除以二
公式: S = a × h ÷ 2 (S=面积, a=底, h=高)
推导: 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形的底=平行四边形的底，三角形的高=平行四边形的高，三角形的面积=平行四边形面积的一半。
重点: 找到对应底边上的高。钝角三角形的高可能在三角形外部。
难点: 钝角三角形如何找到高。
例题: 已知三角形的底是6cm，高是4cm，求面积。 S = 6cm × 4cm ÷ 2 = 12平方厘米
拓展: 等底等高的三角形面积相等。

3. 梯形的面积

概念: （上底+下底）乘以高除以二
公式: S = (a + b) × h ÷ 2 (S=面积, a=上底, b=下底, h=高)
推导: 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，梯形的上底+下底=平行四边形的底，梯形的高=平行四边形的高，梯形的面积=平行四边形面积的一半。
重点: 区分上底、下底和高。
难点: 等腰梯形、直角梯形的面积计算。
例题: 已知梯形的上底是4cm，下底是6cm，高是5cm，求面积。 S = (4cm + 6cm) × 5cm ÷ 2 = 25平方厘米
拓展: 当梯形上底等于下底时，梯形变成平行四边形。当梯形上底为0时，梯形变成三角形。

4. 组合图形的面积

概念: 由几个简单的图形组合而成的图形。
方法:
- 分割法: 将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算面积，然后相加。
- 添补法: 将组合图形添补成一个完整的图形，计算完整图形的面积，再减去添补部分的面积。
重点: 选择合适的分割或添补方法。
难点: 如何分割或添补才能使计算简便。
例题: 一个图形由一个长方形和一个三角形组成，长方形长8cm，宽5cm，三角形底6cm，高4cm，求整个图形的面积。长方形面积 = 8cm × 5cm = 40平方厘米，三角形面积 = 6cm × 4cm ÷ 2 = 12平方厘米，总面积 = 40平方厘米 + 12平方厘米 = 52平方厘米。
关键: 分析图形的组成，选择合适的方法，注意公共边的长度。

二、解决问题

1. 利用面积公式解决实际问题

思路: 根据题目信息，确定已知条件和所求问题，选择合适的面积公式进行计算。
重点: 理解题意，正确选择面积公式。
难点: 复杂图形的面积计算。
例题: 一块平行四边形菜地，底长12米，高8米，如果每平方米可以收蔬菜5千克，这块菜地一共可以收蔬菜多少千克？面积 = 12米 × 8米 = 96平方米，总产量 = 96平方米 × 5千克/平方米 = 480千克。

2. 面积计算的变形应用

已知面积，求底或高:
- 平行四边形: a = S ÷ h, h = S ÷ a
- 三角形: a = S × 2 ÷ h, h = S × 2 ÷ a
- 梯形: h = S × 2 ÷ (a + b), (a + b) = S × 2 ÷ h
重点: 理解面积公式的变形。
难点: 梯形公式变形的应用。
例题: 一个三角形的面积是24平方厘米，底是8厘米，高是多少厘米？ h = 24平方厘米 × 2 ÷ 8厘米 = 6厘米。

3. 组合图形在生活中的应用

思路: 将生活中的实际问题抽象成几何问题，利用面积公式解决问题。
重点: 将实际问题转化为数学问题。
难点: 如何将复杂的问题分解成简单的步骤。
例题: 一面墙的形状如下图，粉刷这面墙需要多少油漆？（给出墙的形状，并标注尺寸）首先将墙分割成一个长方形和一个三角形，分别计算面积，然后相加，最后根据每平方米油漆用量，计算总用量。

三、单元知识点总结

基本图形面积公式: 平行四边形、三角形、梯形面积公式的记忆和应用。
面积公式的推导过程: 理解面积公式的推导过程，能够解释公式的来源。
组合图形的面积计算: 掌握分割法和添补法，灵活应用。
面积计算的应用: 能够运用面积公式解决实际问题。
转化思想: 将不规则图形转化为规则图形，将复杂问题转化为简单问题。
注意单位: 计算面积时要注意单位的统一。

四、易错点提醒

平行四边形、三角形、梯形的高的确定： 容易找错高，特别是钝角三角形和特殊平行四边形的高。
忘记除以2： 计算三角形和梯形面积时，容易忘记除以2。
单位不统一： 计算前要确保单位统一。
组合图形分割错误： 分割组合图形时，要尽量分割成规则图形，避免出现无法计算面积的图形。
实际问题理解偏差： 审题不清，导致选择错误的公式或计算方法。

五、拓展提升

不规则图形面积的估算： 可以用数方格的方法估算不规则图形的面积。
割补法的灵活运用： 尝试用不同的方法分割或添补组合图形，比较计算的简便程度。
与实际生活联系： 寻找生活中更多与面积计算相关的实际问题，并尝试解决。

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