《乘法和除法思维导图》

一、乘法

1.1 乘法的定义及意义

• 定义： 求几个相同加数的和的简便运算。
• 意义：
  • 表示几个相同加数的和。
  • 求一个数的几倍是多少。
  • 面积/体积等概念的扩展应用。

1.2 乘法各部分名称

• 乘数： 表明相同加数的个数。
• 乘数： 表明相同加数的大小。
• 积： 乘法运算的结果。
• 公式： 乘数 × 乘数 = 积

1.3 乘法口诀

• 口诀表： 1x1 到 9x9
• 背诵技巧：
  • 分组记忆：按照1-9的顺序分组记忆。
  • 找规律：利用相邻口诀之间的关系（如加一个乘数）。
  • 应用：快速计算，解决实际问题。
• 特殊口诀：
  • 1的乘法：任何数乘以1都等于它本身。
  • 0的乘法：任何数乘以0都等于0。

1.4 乘法运算定律

• 交换律： a × b = b × a
  • 意义：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。
  • 应用：简化计算，验算乘法。
• 结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
  • 意义：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再和第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变。
  • 应用：改变运算顺序，使计算更简便。
• 分配律： (a + b) × c = a × c + b × c
  • 意义：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加，结果不变。
  • 应用：分解乘数，简化计算。
• 乘法分配律的逆运算： a × c + b × c = (a + b) × c
  • 应用：提取公因数，简化计算。

1.5 乘法竖式计算

• 步骤：
  1. 数位对齐：将乘数的个位与被乘数的个位对齐。
  2. 逐位相乘：从乘数的个位开始，依次与被乘数的每一位数字相乘。
  3. 进位：如果某一位的乘积大于等于10，则向高一位进位。
  4. 部分积相加：将每一位乘数得到的部分积相加。
• 注意事项：
  • 注意进位。
  • 数位对齐准确。
  • 检查计算结果。

1.6 特殊乘法技巧

• 接近10、100、1000的数： 如 99 × a = (100 - 1) × a = 100 × a - a
• 末尾是5的数： 如 25 × a (a是偶数) 可以转化为 (100/4) × a = (a/4) × 100
• 首同末合十： 首位数字相同，末尾数字相加等于10的两个两位数相乘，如23 × 27 = (2 × (2+1)) 百位 + (3 × 7) 个位 = 621

二、除法

2.1 除法的定义及意义

• 定义： 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
• 意义：
  • 平均分：把一个数平均分成几份，求每份是多少。
  • 包含除：求一个数里包含几个另一个数。

2.2 除法各部分名称

• 被除数： 被分的数。
• 除数： 平均分的份数或包含的份数。
• 商： 每份的大小或包含的个数。
• 余数： 如果不能整除，剩下的数。
• 公式： 被除数 ÷ 除数 = 商 ... 余数 (余数 < 除数)

2.3 除法与乘法的关系

• 互逆运算： 除法是乘法的逆运算。
• 验算： 可以用商 × 除数 + 余数 = 被除数 来验算除法结果。

2.4 除法竖式计算

• 步骤：
  1. 数位对齐：将除数写在被除数的左边，从被除数的最高位开始除。
  2. 试商：确定商的位置和大小。
  3. 相乘：用商乘以除数。
  4. 相减：用被除数减去商与除数的积。
  5. 余数：将余数与被除数下一位数合并，继续除。
• 注意事项：
  • 商的位置要正确，与被除数的数位对齐。
  • 每次除得的余数必须小于除数。
  • 商的位数要正确。
  • 注意验算。

2.5 除法性质

• 商不变性质： 被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
  • 应用：简化计算，例如 1200 ÷ 40 = (1200 ÷ 10) ÷ (40 ÷ 10) = 120 ÷ 4 = 30
• 除法的分配律（通常只针对被除数）： (a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c
  • 应用：简化计算，前提是 a和b 都能被 c 整除。

2.6 特殊除法技巧

• 除数接近10、100、1000的数： 利用商不变的性质，进行近似计算。
• 除数分解： 当除数可以分解成两个或多个数相乘时，可以连续除以这些数。 如： a ÷ 15 = a ÷ 3 ÷ 5

三、乘除法综合应用

3.1 解决实际问题

• 分析题意： 理解题目的条件和问题，找出数量关系。
• 确定算法： 根据数量关系选择合适的乘法或除法。
• 列式计算： 按照运算顺序进行计算。
• 检验： 检查计算结果是否符合题意，书写答案。

3.2 运算顺序

• 同级运算： 从左到右依次计算。
• 混合运算： 先乘除，后加减；有括号的，先算括号里面的。

3.3 估算

• 定义： 对计算结果进行大致的估计。
• 方法： 将数字进行四舍五入，简化计算。
• 应用： 快速判断计算结果的合理性。

3.4 简便运算

• 应用运算定律： 灵活运用乘法交换律、结合律、分配律以及除法的性质。
• 拆分与合并： 将数字拆分成易于计算的数，或者将多个数合并成一个数。
• 寻找特殊数： 如 25 × 4 = 100， 125 × 8 = 1000等。

3.5 易错点

• 忘记进位/退位： 竖式计算时容易出错。
• 运算顺序错误： 混合运算时，不按照运算顺序计算。
• 漏掉单位名称： 解决实际问题时，忘记写单位名称。
• 除法余数的处理： 理解余数的意义，根据实际情况进行处理（如进一法，去尾法）。

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