《八年级上数学思维导图》

一、 数的开方

1. 平方根

• 定义: 若x²=a，则x是a的平方根，记作x=±√a，其中a≥0。
• 性质:
  • 正数的平方根有两个，互为相反数。
  • 0的平方根是0。
  • 负数没有平方根。
• 算术平方根: 正数a的正的平方根，记作√a。
• 表示: √a (a≥0)
• 开平方: 求一个数的平方根的运算。
• 估算: 通过夹逼法估算平方根的值。

2. 立方根

• 定义: 若x³=a，则x是a的立方根，记作x=∛a。
• 性质:
  • 任何数都有且只有一个立方根。
  • 正数的立方根是正数。
  • 0的立方根是0。
  • 负数的立方根是负数。
• 表示: ∛a
• 开立方: 求一个数的立方根的运算。
• 与平方根的区别: 平方根必须是非负数才有意义，立方根可以是任何数。

3. 实数

• 定义: 有理数和无理数的统称。
• 分类:
  • 按定义分: 有理数、无理数
  • 按符号分: 正实数、0、负实数
• 有理数: 整数和分数。
• 无理数: 无限不循环小数 (如π、√2、∛5等)。
• 实数与数轴: 实数与数轴上的点一一对应。
• 运算: 实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、开方等运算，运算规律与有理数相同。
• 实数大小比较:
  • 数轴比较法：数轴上右边的点对应的实数大于左边的点对应的实数。
  • 绝对值比较法：两个负实数，绝对值大的反而小。

二、 整式的乘除与因式分解

1. 幂的运算

• 同底数幂的乘法: aᵐ • aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (m, n为正整数)
• 幂的乘方: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (m, n为正整数)
• 积的乘方: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ (n为正整数)
• 同底数幂的除法: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a≠0, m, n为正整数, 且m>n)
• 零指数幂: a⁰ = 1 (a≠0)
• 负指数幂: a⁻ᵖ = 1/aᵖ (a≠0, p为正整数)

2. 整式的乘法

• 单项式乘以单项式: 系数相乘，相同字母的幂相加，只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式。
• 单项式乘以多项式: m(a+b+c) = ma+mb+mc
• 多项式乘以多项式: (a+b)(m+n) = am+an+bm+bn
• 乘法公式:
  • 平方差公式: (a+b)(a-b) = a² - b²
  • 完全平方公式: (a+b)² = a² + 2ab + b²; (a-b)² = a² - 2ab + b²

3. 整式的除法

• 单项式除以单项式: 系数相除，相同字母的幂相减，只在被除式里含有的字母连同它的指数作为商的一个因式。
• 多项式除以单项式: (am+bm) ÷ m = a+b (m≠0)

4. 因式分解

• 定义: 把一个多项式化为几个整式的积的形式。
• 方法:
  • 提公因式法: ma+mb+mc = m(a+b+c)
  • 运用公式法:
    • 平方差公式: a² - b² = (a+b)(a-b)
    • 完全平方公式: a² + 2ab + b² = (a+b)²; a² - 2ab + b² = (a-b)²
  • 分组分解法: 将多项式适当分组，然后分解因式。
  • 十字相乘法: 适用于分解形如x²+px+q的二次三项式。
• 步骤:
  1. 提取公因式(如果存在)。
  2. 运用公式(如果符合)。
  3. 检查是否分解彻底。

三、 三角形

1. 与三角形有关的线段

• 三角形的定义: 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
• 三角形的边:
  • 三角形的三边关系: 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
• 三角形的高: 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
• 三角形的中线: 连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段。
• 三角形的角平分线: 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。

2. 与三角形有关的角

• 三角形的内角: 三角形内部的角。
• 三角形的内角和定理: 三角形三个内角的和等于180°。
• 三角形的外角: 三角形的一边与另一边的延长线组成的角。
• 三角形外角的性质:
  • 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
  • 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

3. 全等三角形

• 定义: 能够完全重合的两个三角形。
• 性质: 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
• 判定:
  • SSS (边边边): 三边对应相等的两个三角形全等。
  • SAS (边角边): 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
  • ASA (角角边): 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
  • AAS (角角边): 两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。
  • HL (斜边、直角边): 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4. 角的平分线的性质

• 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
• 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

四、 位置的确定

1. 平面直角坐标系

• 定义: 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成平面直角坐标系。
• 组成: 横轴(x轴)，纵轴(y轴)，原点(0,0)
• 象限: 平面被坐标轴分为四个象限，按逆时针方向依次为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
• 点的坐标:
  • 点P(x, y)
  • x: 横坐标, 表示点到y轴的距离.
  • y: 纵坐标, 表示点到x轴的距离.
• 特殊位置点的坐标:
  • x轴上的点: (x, 0)
  • y轴上的点: (0, y)
  • 原点: (0, 0)
  • 关于x轴对称的点: (x, -y)
  • 关于y轴对称的点: (-x, y)
  • 关于原点对称的点: (-x, -y)

2. 坐标方法的简单应用

• 描述物体的位置: 通过建立适当的坐标系，可以用坐标表示物体的位置。
• 利用坐标解决实际问题: 例如，确定地理位置，导航等。
• 图案设计: 可以利用坐标对称性等性质设计简单的图案。
• 平移: 在坐标系中，点(x,y)向右平移a个单位，坐标变为(x+a,y)；向上平移b个单位，坐标变为(x,y+b)。

五、 二元一次方程组

1. 二元一次方程

• 定义: 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。
• 一般形式: ax + by = c (其中a, b, c为常数，且a, b不同时为0)
• 解: 使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值。

2. 二元一次方程组

• 定义: 由两个二元一次方程组成的一组方程。
• 解: 满足方程组中每个方程的两个未知数的值。
• 解法:
  • 代入消元法: 将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，然后代入另一个方程，消去一个未知数，求出另一个未知数的值。
  • 加减消元法: 将两个方程适当变形，使其中一个未知数的系数相等或互为相反数，然后将两个方程相加或相减，消去一个未知数，求出另一个未知数的值。

3. 三元一次方程组(简单了解)

• 定义: 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程组。
• 解法: 通过消元，转化为二元一次方程组或一元一次方程。

4. 应用二元一次方程组解决实际问题

• 审题: 理解题意，找出已知量和未知量，理清各数量之间的关系。
• 设未知数: 根据题意，设适当的未知数。
• 列方程组: 根据题中的等量关系列出方程组。
• 解方程组: 选择合适的解法，解出方程组的解。
• 检验: 检验方程组的解是否符合题意。
• 答: 写出答案。

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