《七年级下数学思维导图》

一、第一章：相交线与平行线

1.1 相交线

• 1.1.1 邻补角与对顶角

  • 定义：
    • 邻补角：具有公共顶点和公共边，另一边互为反向延长线的两个角。
    • 对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线。
  • 性质：
    • 邻补角互补，即两个角的和等于180°。
    • 对顶角相等。
  • 应用：角的计算，证明角的相等关系。

• 1.1.2 垂线

  • 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
  • 性质：
    • 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
    • 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（垂线段的长度叫做点到直线的距离）。
  • 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

• 1.1.3 同位角、内错角、同旁内角

  • 定义：
    • 同位角：在截线的同侧，被截线的同一方。
    • 内错角：在截线的两侧，位于被截线的两条直线之间。
    • 同旁内角：在截线的同侧，位于被截线的两条直线之间。
  • 作用：为判断两条直线是否平行提供条件。

1.2 平行线

• 1.2.1 平行线的定义与判定

  • 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
  • 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
  • 平行线的判定：
    • 同位角相等，两直线平行。
    • 内错角相等，两直线平行。
    • 同旁内角互补，两直线平行。

• 1.2.2 平行线的性质

  • 性质：
    • 两直线平行，同位角相等。
    • 两直线平行，内错角相等。
    • 两直线平行，同旁内角互补。
  • 应用：角的计算，证明角的相等/互补关系。

• 1.2.3 平移

  • 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
  • 性质：
    • 平移不改变图形的形状和大小。
    • 平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等；对应线段平行（或在同一直线上）且相等；对应角相等。

二、第二章：三角形

2.1 与三角形有关的线段

• 2.1.1 三角形的定义与基本概念

  • 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
  • 基本要素：顶点、边、角。
  • 表示：△ABC
  • 分类：
    • 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
    • 按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。

• 2.1.2 三角形的三边关系

  • 结论：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
  • 应用：判断三条线段是否能组成三角形。

• 2.1.3 三角形的高、中线、角平分线

  • 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
  • 中线：连接三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
  • 角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交，这个角顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

2.2 与三角形有关的角

• 2.2.1 三角形的内角和

  • 结论：三角形的三个内角的和等于180°。
  • 应用：角度计算，证明角度关系。

• 2.2.2 三角形的外角

  • 定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角。
  • 性质：
    • 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
    • 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

2.3 多边形及其内角和

• 2.3.1 多边形

  • 定义：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
  • 分类：凸多边形、凹多边形。
  • 正多边形：各边都相等，各角都相等的多边形。

• 2.3.2 多边形的内角和与外角和

  • 内角和：(n-2)×180° （n为边数）
  • 外角和：360° (与边数无关)

三、第三章：二元一次方程组

3.1 二元一次方程组

• 3.1.1 二元一次方程(组)的定义

  • 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
  • 二元一次方程组：由两个二元一次方程组成，并且含有两个相同的未知数。
  • 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。
  • 方程组的解：使方程组中的每个方程都成立的未知数的值。

• 3.1.2 二元一次方程组的解法

  • 代入消元法：将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元。
  • 加减消元法：通过方程变形，使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数，然后通过加或减消去这个未知数。

3.2 应用二元一次方程组解决实际问题

• 3.2.1 列方程组解决问题的一般步骤

  • 审题：理解题意，找出已知量和未知量，以及它们之间的关系。
  • 设未知数：根据题意，设出未知数。
  • 列方程组：根据等量关系，列出方程组。
  • 解方程组：求出方程组的解。
  • 检验：检验方程组的解是否符合题意。
  • 答：写出答案。

• 3.2.2 常见的应用题类型

  • 行程问题：路程 = 速度 × 时间
  • 工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间
  • 利润问题：利润 = 售价 - 成本；利润率 = (利润 / 成本) × 100%
  • 分配问题：注意总量恒定。

四、第四章：不等式与不等式组

4.1 不等式

• 4.1.1 不等式的概念

  • 定义：用不等号（>，<，≥，≤，≠）连接的式子叫做不等式。
  • 不等式的基本性质：
    • 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
    • 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
    • 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

• 4.1.2 不等式的解集

  • 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。
  • 不等式的解集：所有解的集合。
  • 在数轴上表示不等式的解集：空心圈（不包含）、实心点（包含）。

4.2 一元一次不等式

• 4.2.1 一元一次不等式的解法
  • 定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
  • 解法：类似于解一元一次方程，注意不等号的变换。

4.3 一元一次不等式组

• 4.3.1 一元一次不等式组的解集

  • 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组。
  • 解集：各个不等式的解集的公共部分。
  • 解集求解方法：在数轴上表示各不等式的解集，取公共部分。
    • 同大取大
    • 同小取小
    • 大小小大中间找
    • 大大小小找不到

• 4.3.2 应用一元一次不等式（组）解决实际问题

  • 与方程类似，关键在于找出不等关系。

五、第五章：数据收集与整理

5.1 数据的收集

• 5.1.1 调查方式
  • 全面调查：考察全体对象的调查。
  • 抽样调查：抽取一部分对象进行调查，并以此推断全体的情况。
• 5.1.2 样本的选择
  • 随机性：保证每个个体都有相同的被抽到的机会。
  • 代表性：样本能够反映总体的特征。
• 5.1.3 调查问卷的设计
  • 目的明确
  • 简洁明了
  • 避免诱导性
  • 问题完整

5.2 数据的整理与表示

• 5.2.1 统计图表

  • 条形统计图：清晰地显示每组数据的具体数目。
  • 扇形统计图：显示各部分在总体中所占的百分比。
  • 折线统计图：显示数据的变化趋势。
  • 直方图：分组数据，展示数据的分布情况。

• 5.2.2 数据的分析与决策

  • 平均数：所有数据的总和除以数据的个数。
  • 中位数：将数据按照大小顺序排列，位于最中间的数据。
  • 众数：一组数据中出现次数最多的数据。
  • 方差和标准差：衡量数据的波动程度。

上一个主题： 西游记思维导图 下一个主题： 地理必修一第三章思维导图