《3年级下册数学思维导图》

一、 除数是一位数的除法

口算除法

• 整十、整百、整千数除以一位数:
  • 方法：利用表内除法计算，算完后在商的末尾添上相应个数的0。
  • 示例：60 ÷ 3 = 20 (想: 6 ÷ 3 = 2，后面添1个0)； 800 ÷ 4 = 200 (想: 8 ÷ 4 = 2，后面添2个0)。
• 几百几十除以一位数 / 几千几百除以一位数:
  • 方法：可以看作是几个十或几个百除以一位数。
  • 示例：120 ÷ 6 = 20 (想: 12个十 ÷ 6 = 2个十)； 4500 ÷ 5 = 900 (想: 45个百 ÷ 5 = 9个百)。
• 估算:
  • 方法：将非整十、整百的被除数看作与之接近的整十、整百数，再进行口算。
  • 目的：快速估计商的大致范围，检验笔算结果的合理性。
  • 示例：124 ÷ 3 ≈ 120 ÷ 3 = 40； 488 ÷ 7 ≈ 490 ÷ 7 = 70。

笔算除法

• 基本步骤与方法:
  • 顺序: 从被除数的最高位除起。
  • 试商: 除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面。
  • 比较: 每次除得的余数必须比除数小。
  • 除、乘、减、比、落: 确定商 -> 商与除数相乘 -> 被除数减去乘积 -> 比较余数与除数 -> 把被除数下一位落下。
• 一位数除两位数:
  • 商是一位数: 最高位不够除，看前两位。
    • 示例：72 ÷ 3 = 24
  • 商是两位数: 最高位够除。
    • 示例：96 ÷ 4 = 24
• 一位数除三位数:
  • 商是两位数: 最高位不够除，看前两位。
    • 示例：256 ÷ 4 = 64
  • 商是三位数: 最高位够除。
    • 示例：516 ÷ 3 = 172
• 商中间有0的除法:
  • 原因: 在求商的过程中，某一位上的数是0或不够除（除以前一位所得余数与落下的数合起来仍比除数小）。
  • 处理: 在该位商上写0占位。
  • 示例：306 ÷ 3 = 102； 424 ÷ 4 = 106。
• 商末尾有0的除法:
  • 原因: 除到被除数的个位时正好除尽，或者前面有余数但加上个位的0后正好除尽。
  • 处理: 在商的个位或相应末尾写0。
  • 示例：650 ÷ 5 = 130； 900 ÷ 6 = 150。
• 除法的验算:
  • 没有余数的除法: 商 × 除数 = 被除数。
  • 有余数的除法: 商 × 除数 + 余数 = 被除数。
  • 重要性: 养成验算的习惯，确保计算准确无误。

解决问题

• 归一问题: 先求出一份是多少（用除法），再求几份是多少（用乘法）。
  • 示例：3支钢笔27元，买5支钢笔需要多少钱？ (先算 27 ÷ 3 = 9元/支，再算 9 × 5 = 45元)
• 归总问题: 先求出总数是多少（用乘法），再求每份是多少（用除法）。
  • 示例：一箱苹果有8盒，每盒10个。把这些苹果平均分给4个班，每班分多少个？ (先算 8 × 10 = 80个，再算 80 ÷ 4 = 20个)
• 包含除法意义: 求一个数里面包含几个另一个数。
  • 示例：有100个轮子，每辆车需要4个轮子，可以装配多少辆车？ (100 ÷ 4 = 25辆)
• 平均分除法意义: 把一个数平均分成几份，求每份是多少。
  • 示例：学校买来84本书，平均分给2个班，每个班分到多少本？ (84 ÷ 2 = 42本)
• 带余除法应用: 考虑实际情况处理余数 (进一法、去尾法)。
  • 示例（进一法）：需要租船，每条船限乘4人，有15人，至少需要租几条船？ (15 ÷ 4 = 3 ... 3，需要 3 + 1 = 4条)
  • 示例（去尾法）：有20米布，每套衣服用布3米，最多可以做几套衣服？ (20 ÷ 3 = 6 ... 2，最多做 6套)

二、 两位数乘两位数

口算乘法

• 两位数乘整十数: 先用两位数乘整十数前面的数字，再在积的末尾添上1个0。
  • 示例：24 × 10 = 240； 15 × 30 = 450 (想: 15 × 3 = 45，添1个0)。
• 整十数乘整十数: 先用两个整十数前面的数字相乘，再在积的末尾添上2个0。
  • 示例：20 × 30 = 600 (想: 2 × 3 = 6，添2个0)。
• 估算:
  • 方法：将两位数看作与它接近的整十数，再进行口算。
  • 目的：快速估计积的大致范围。
  • 示例：28 × 51 ≈ 30 × 50 = 1500； 42 × 19 ≈ 40 × 20 = 800。

笔算乘法

• 基本步骤与方法:

  • 数位对齐: 用第二个乘数的个位去乘第一个乘数，得数的末位与乘数的个位对齐。
  • 数位对齐: 用第二个乘数的十位去乘第一个乘数，得数的末位与乘数的十位对齐。
  • 相加: 把两次乘得的积相加。

• 不进位的乘法:

  • 示例：23 × 12 = 276

    2 3 x 1 2

    4 6 (23 x 2) 2 3 (23 x 10)

    2 7 6

• 进位的乘法:

  • 注意: 哪一位上乘得的积满几十，就要向前一位进几。加法计算时也要注意进位。

  • 示例：34 × 56 = 1904

    3 4 x 5 6

    2 0 4 (34 x 6) 1 7 0 (34 x 50)

    1 9 0 4

• 乘数末尾有0的乘法:

  • 方法：可以先用0前面的数相乘，再看两个乘数末尾共有几个0，就在积的末尾添上几个0。竖式计算时，可将0前提，先计算非0部分，再落0。
  • 示例：25 × 40 = 1000 (25 × 4 = 100，添1个0)； 180 × 20 = 3600 (18 × 2 = 36，添2个0)。

解决问题

• 求总价/总数: 单价 × 数量 = 总价； 每份数 × 份数 = 总数。
  • 示例：每箱苹果45元，买12箱需要多少钱？ (45 × 12 = 540元)
• 连乘问题: 分步计算或列综合算式。
  • 示例：学校有6个年级，每个年级有4个班，每个班有50人，全校共有多少人？ (6 × 4 × 50 = 1200人 或 6 × (4 × 50) = 1200人)
• 面积相关: （见下一单元）两位数乘两位数是计算长方形、正方形面积的基础。

三、 面积

面积的含义与单位

• 面积定义: 物体表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积。
• 与周长的区别: 周长是封闭图形一周的长度（长度单位），面积是图形内部的大小（面积单位）。
• 常用面积单位:
  • 平方厘米 (cm²): 边长是1厘米的正方形，面积是1平方厘米。用于测量较小物体的表面积，如邮票、指甲盖。
  • 平方分米 (dm²): 边长是1分米的正方形，面积是1平方分米。用于测量中等大小物体的表面积，如课本封面、方砖。
  • 平方米 (m²): 边长是1米的正方形，面积是1平方米。用于测量较大面积，如教室地面、操场。
• 面积单位的感知: 通过实际比划、触摸来感受1平方厘米、1平方分米、1平方米的大小。
• 面积单位间的进率:
  • 1 平方米 = 100 平方分米
  • 1 平方分米 = 100 平方厘米
  • 相邻两个面积单位之间的进率是 100。 (区别于长度单位的进率10)

长方形、正方形的面积计算

• 长方形面积:
  • 公式: 长方形面积 = 长 × 宽 (S = a × b)
  • 推导: 通过用面积单位（如小正方形）铺满长方形，发现所用单位个数等于长边所含单位数乘以宽边所含单位数。
• 正方形面积:
  • 公式: 正方形面积 = 边长 × 边长 (S = a × a 或 S = a²)
  • 关系: 正方形是特殊的长方形（长和宽相等）。
• 已知面积和一边长求另一边长:
  • 长 = 面积 ÷ 宽
  • 宽 = 面积 ÷ 长
  • 边长 = (正方形面积开方，此阶段通常通过试乘或除法找到)

解决问题

• 计算给定图形的面积: 直接应用公式计算长方形和正方形的面积。注意单位统一。
• 面积单位换算:
  • 大单位换小单位：乘以进率 (1 m² = 100 dm² = 10000 cm²)
  • 小单位换大单位：除以进率
• 组合图形面积: (简单情况) 将不规则图形分割成几个长方形或正方形，分别计算面积后再相加；或者将其补成一个大长方形/正方形，再减去多余部分的面积。
• 实际应用: 计算房间地面面积、墙面面积（注意扣除门窗）、桌面面积、布料面积等。
• 周长与面积的综合:
  • 给定周长求面积：如用一定长度的篱笆围成一个长方形或正方形，怎样围面积最大（通常是围成正方形或接近正方形时长方形面积较大）。
  • 给定面积求周长：面积相同的长方形，长和宽越接近，周长越小。

四、 小数的初步认识

小数的产生与含义

• 产生背景: 在测量和计算时，结果有时不是整数，需要一种新的数来表示。
• 含义: 小数是分母是10, 100, 1000...的分数的另一种表现形式。
• 十分之几: 可以写作一位小数 (如 3/10 = 0.3)。
• 百分之几: 可以写作两位小数 (如 15/100 = 0.15)。
• 小数的组成: 由整数部分、小数点、小数部分组成。
• 小数的数位: 小数点右边第一位是 十分位 (计数单位是 0.1 或十分之一)，第二位是 百分位 (计数单位是 0.01 或百分之一)，以此类推。

小数的读写

• 读小数: 整数部分按整数读法读；小数点读作“点”；小数部分依次读出每个数字。
  • 示例：3.45 读作：三点四五； 0.8 读作：零点八。
• 写小数: 整数部分按整数写法写；小数点写在个位右下角；小数部分依次写出每个数字。
  • 示例：五点零六 写作：5.06； 二十点一三 写作：20.13。

小数的大小比较

• 方法:
  1. 先比较整数部分，整数部分大的数就大。
  2. 如果整数部分相同，再比较十分位，十分位上的数大的数就大。
  3. 如果十分位上的数也相同，再比较百分位，百分位上的数大的数就大，以此类推。
• 技巧: 可以将小数的位数补齐（在末尾添0）再按整数比较小数部分。
  • 示例：比较 3.45 和 3.5。因为整数部分都是3，比较十分位，4 < 5，所以 3.45 < 3.5。
  • 示例：比较 6.7 和 6.70。整数部分相同，十分位相同，百分位 6.7 可看作 6.70，百分位也是0，所以 6.7 = 6.70。(引出小数的基本性质：小数末尾添上0或去掉0，小数的大小不变，但计数单位可能改变。)

简单的小数加减法

• 计算法则:
  1. 小数点对齐: 把相同数位对齐 (即小数点对齐)。
  2. 按位加减: 按照整数加减法的法则进行计算。
  3. 点齐: 在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点。
  4. 化简: 如果结果末尾有0，一般要去掉。
• 注意点:
  • 整数加减小数时，可以把整数看作小数点在末尾的小数（如 5 看作 5.0 或 5.00）。
  • 位数不同时，可以用0补齐数位再计算。
• 示例:
  • 2.5 + 1.3 = 3.8
  • 4.8 - 2.1 = 2.7
  • 5 - 1.5 = 5.0 - 1.5 = 3.5
  • 3.6 + 2.45 = 3.60 + 2.45 = 6.05

解决问题

• 购物计算: 计算商品总价、找零等，常涉及小数加减法。
• 测量数据处理: 计算长度、质量等的合计或差值。
• 单位换算: 结合元角分、米分米厘米等单位换算，理解小数在实际生活中的应用。
  • 示例：1元5角 = 1.5元； 2米3分米 = 2.3米； 8角 = 0.8元。

五、 轴对称图形

认识轴对称图形

• 定义: 如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做 轴对称图形。
• 对称轴: 这条直线叫做 对称轴。
• 性质: 对称轴两侧相对的点到对称轴的距离相等。对称轴是一条直线。

常见轴对称图形及其对称轴

• 长方形: 是轴对称图形，有 2 条对称轴（连接对边中点的直线）。
• 正方形: 是轴对称图形，有 4 条对称轴（连接对边中点的直线，两条对角线）。
• 圆: 是轴对称图形，有 无数 条对称轴（所有经过圆心的直线都是）。
• 等腰三角形: 是轴对称图形，有 1 条对称轴（底边上的高所在的直线）。
• 等边三角形: 是轴对称图形，有 3 条对称轴（三条边上的高所在的直线）。
• 一些汉字和字母: 如“中”、“王”、“田”、“A”、“H”、“M”等。

画轴对称图形

• 画出对称轴: 找出图形的对称轴并画出来。
• 画出图形的另一半:
  1. 在图形的一半上找出关键点。
  2. 量出或数出这些关键点到对称轴的距离。
  3. 在对称轴的另一侧，找到距离对称轴相同距离的对应点。
  4. 按顺序连接这些对应点，得到图形的另一半。

六、 年月日

认识年月日

• 时间单位: 年、月、日是常用的时间单位。
• 关系: 1 年 = 12 个月。
• 大月与小月:
  • 大月 (31天): 1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月 (共7个)。
  • 小月 (30天): 4月、6月、9月、11月 (共4个)。
  • 特殊月 (2月): 平年28天，闰年29天。
• 记忆方法: 拳头记忆法（骨节为大月，凹陷为小月，注意7、8月连续为大月）；口诀记忆法（一三五七八十腊，三十一天永不差...）。

平年和闰年

• 定义:
  • 平年: 全年共 365 天，2月有 28 天。
  • 闰年: 全年共 366 天，2月有 29 天。 (多出的一天在2月)
• 判断方法:
  • 公历年份是4的倍数 的通常是闰年 (如 2004年, 2020年)。
  • 公历年份是整百数 的，必须是 400的倍数 才是闰年 (如 2000年是闰年，1900年是平年)。
  • 简单记法 (适用于小学阶段非整百年份): 年份数 ÷ 4，没有余数是闰年，有余数是平年。
• 规律: 通常每4年有1个闰年。

季度

• 划分: 一年分为四个季度。
  • 第一季度: 1月、2月、3月 (平年90天，闰年91天)
  • 第二季度: 4月、5月、6月 (共91天)
  • 第三季度: 7月、8月、9月 (共92天)
  • 第四季度: 10月、11月、12月 (共92天)

24时计时法

• 目的: 为了区分是上午还是下午的时间，使计时更准确、不易混淆。
• 表示方法: 从0时到24时。一天有24小时。
• 与普通计时法 (12时计时法) 的关系:
  • 上午 (AM): 0时 - 12时。24时计时法与普通计时法表示相同，但需注意凌晨0点-1点对应普通计时法的前一天晚上12点到当天凌晨1点。通常用0时表示新的一天的开始。例如：上午8时 = 8:00。
  • 下午 (PM): 12时 - 24时。普通计时法需加上12小时转换成24时计时法。例如：下午1时 (1 PM) = 13:00；下午6时 (6 PM) = 18:00；晚上12时 (午夜) = 24:00 或 第二天的 0:00。
  • 转换: 24时计时法时间 ≥ 13时，减去12小时得到普通计时法下午的时间。
• 应用: 交通、邮电、广播等部门常用。

计算经过时间

• 简单计算:
  • 结束时间 - 开始时间 = 经过时间 (在同一天内)。
  • 注意时间单位的换算和借位 (1小时=60分钟)。
  • 示例：从上午8:30到上午10:10，经过了 1小时40分钟。
• 跨天计算: 分段计算，先算到当天午夜24时，再加上第二天的时间。

七、 统计与可能性 (或 数学广角)

简单数据分析

• 数据的收集与整理: 通过调查、实验等方式收集数据，常用“正”字记录法整理数据。
• 条形统计图 (1格代表多个单位):
  • 特点: 能直观地看出数量的多少，便于比较。
  • 读图: 明确每格代表的数量是多少，根据条形的高度读出或计算出具体数值。
  • 绘制: 确定每格代表的数量，画出合适的条形。
• 分析: 从统计图中获取信息，回答相关问题，进行简单预测。

平均数

• 含义: 一组数据的“平均水平”或“集中趋势”的度量。它能代表一组数据的整体情况。
• 计算方法: 总数量 ÷ 总份数 = 平均数。
• 理解: 平均数是一个虚拟的数，可能与实际数据中的任何一个都不相等。它介于这组数据的最大值和最小值之间。
• 应用: 计算平均身高、平均体重、平均成绩、平均产量等。移多补少是理解平均数意义的重要思想。

可能性 (初步)

• 描述事件发生的确定性:
  • 一定发生 (必然事件): 如太阳从东方升起。
  • 不可能发生 (不可能事件): 如 সূর্য पश्चिम থেকে উদিত হয় (太阳从西方升起)。
  • 可能发生 (随机事件): 如明天可能下雨，掷骰子可能掷到6。
• 描述可能性的大小:
  • 用“很有可能”、“可能”、“不太可能”等词语描述事件发生的可能性大小。
  • 根据事物数量的多少判断可能性大小（如盒子里红球多，摸到红球的可能性大）。

数学广角 - 集合 (初步)

• 利用图示解决重叠问题: 常用韦恩图 (Venn Diagram) 来表示集合之间的关系。
• 简单应用: 解决类似于“班级里参加语文兴趣小组的有A人，参加数学兴趣小组的有B人，两个小组都参加的有C人，问只参加语文/数学小组的各有多少人？参加兴趣小组的一共有多少人？”等问题。
  • 只参加语文 = A - C
  • 只参加数学 = B - C
  • 参加兴趣小组的总人数 = A + B - C (或者 只参加语文 + 只参加数学 + 都参加 = (A-C) + (B-C) + C = A + B - C)

八、 总复习与综合应用

知识网络梳理

• 系统回顾本学期所学内容，建立各知识点之间的联系。
• 如除法与乘法的关系（互为逆运算），面积计算与乘法的关系，小数与分数的关系，时间计算等。

混合运算与实际问题

• 加强含有乘除法、加减法的两步计算练习。
• 解决包含多个知识点的综合性应用题，提高分析问题和解决问题的能力。

易错点辨析

• 除法计算中商的定位、0的处理、余数必须小于除数。
• 乘法计算中的进位、数位对齐、末尾0的处理。
• 面积与周长的混淆，面积单位与长度单位的混淆，单位换算进率错误。
• 小数加减法小数点未对齐。
• 平年闰年的判断错误。
• 24时计时法与普通计时法转换错误。
• 平均数理解偏差，用总数直接比较而非用平均数比较。

学习习惯与思维方法

• 审题: 仔细阅读题目，理解题意，找准关键信息。
• 计算: 认真细心，掌握口算、笔算、估算方法，养成验算习惯。
• 思考: 尝试从不同角度思考问题，运用画图、列表等策略辅助理解。
• 表达: 清晰地表达解题思路和过程。

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