《有理数知识点思维导图》
I. 有理数的概念
A. 定义
- 整数与分数的统称
- 可以表示成 p/q (p, q 为整数且 q ≠ 0) 的数
B. 分类
1. **按定义分类**
* **整数**
* 正整数：大于零的整数 (1, 2, 3, ...)
* 零：特殊的整数 (0)
* 负整数：小于零的整数 (-1, -2, -3, ...)
* **分数**
* 正分数：大于零的分数 (1/2, 3/4, ...)
* 负分数：小于零的分数 (-1/3, -2/5, ...)
2. **按正负性分类**
* 正有理数：大于零的有理数 (包括正整数和正分数)
* 零：既不是正数也不是负数
* 负有理数：小于零的有理数 (包括负整数和负分数)
C. 数轴
1. 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线
2. 要素：
* 原点：数轴上表示0的点
* 正方向：数轴上规定的方向 (通常向右)
* 单位长度：数轴上相邻两个单位之间的距离
3. 作用：
* 直观表示数的大小
* 帮助理解相反数、绝对值等概念
* 可以用来比较有理数的大小
II. 有理数的运算
A. 基本运算
1. **加法**
* 同号相加：取相同的符号，并把绝对值相加
* 异号相加：绝对值大的数的符号作为结果的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0
* 加法交换律：a + b = b + a
* 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
2. **减法**
* 减去一个数等于加上这个数的相反数：a - b = a + (-b)
3. **乘法**
* 同号相乘：得正
* 异号相乘：得负
* 任何数与0相乘：得0
* 乘法交换律：a × b = b × a
* 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
* 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
4. **除法**
* 除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数：a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
* 同号相除：得正
* 异号相除：得负
* 0除以任何非0的数都等于0
5. **乘方**
* 定义：求n个相同因数a的积的运算，记作aⁿ
* aⁿ：a为底数，n为指数，aⁿ 为幂
* 正数的任何次幂都是正数
* 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数
* 注意：( -a )ⁿ 与 -aⁿ 的区别。 当n为偶数时，( -a )ⁿ = aⁿ；当n为奇数时，( -a )ⁿ = -aⁿ
6. **开方** (初中阶段主要涉及开平方和开立方，本思维导图简化处理)
* 开平方：寻找一个数的平方等于已知数
* 开立方：寻找一个数的立方等于已知数
B. 运算律
1. **加法交换律**：a + b = b + a
2. **加法结合律**：(a + b) + c = a + (b + c)
3. **乘法交换律**：a × b = b × a
4. **乘法结合律**：(a × b) × c = a × (b × c)
5. **乘法分配律**：a × (b + c) = a × b + a × c
C. 运算顺序
1. 先乘方，后乘除，最后加减
2. 同级运算，从左至右依次进行
3. 有括号，先算括号里面的 (先小括号，再中括号，最后大括号)
III. 重要概念
A. 相反数
1. 定义：只有符号不同的两个数互为相反数
2. 性质：
* a 的相反数是 -a
* 0 的相反数是 0
* 在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等
* a + (-a) = 0
B. 绝对值
1. 定义：数轴上表示一个数的点到原点的距离，记作 |a|
2. 性质：
* |a| ≥ 0 (绝对值非负性)
* |a| = a (当 a ≥ 0 时)
* |a| = -a (当 a < 0 时)
* 互为相反数的两个数的绝对值相等：|a| = |-a|
C. 倒数
1. 定义：乘积为1的两个数互为倒数
2. 性质：
* a 的倒数是 1/a (a ≠ 0)
* 1 的倒数是 1
* -1 的倒数是 -1
* 0 没有倒数
D. 科学计数法
1. 定义：将一个绝对值大于10或小于-10的数表示成 a × 10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n为整数。
2. 确定n的值：n等于原数的小数点移动到个位后，小数点移动的位数。当原数的绝对值大于1时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数。
IV. 应用
A. 解决实际问题
1. 温度变化
2. 盈利与亏损
3. 方向变化
4. 工程进度
5. 库存管理
B. 代数运算基础
1. 简化表达式
2. 解方程
3. 函数学习准备
