八年级数学上册思维导图

八年级数学上册思维导图

中心主题：八年级数学上册

一、三角形

• 1.1 三角形的定义与性质

  • 定义：三条线段首尾顺次相接组成的图形。
  • 分类：
    • 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
    • 按边分：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）
  • 性质：
    • 三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180°
    • 三角形的外角性质：
      • 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
      • 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
    • 三角形的三边关系：
      • 三角形的任意两边之和大于第三边
      • 三角形的任意两边之差小于第三边
  • 重要辅助线：作高（锐角三角形的三条高在内部，钝角三角形两条高在外部，一条高在内部，直角三角形两条高是直角边）

• 1.2 全等三角形

  • 定义：能够完全重合的两个三角形。
  • 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
  • 判定：
    • SSS (边边边)：三边对应相等的两个三角形全等。
    • SAS (边角边)：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
    • ASA (角边角)：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
    • AAS (角角边)：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
    • HL (斜边、直角边)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(仅适用于直角三角形)
  • 常见模型：
    • 角平分线模型（截长补短、倍长中线）
    • 中点模型
    • 手拉手模型
    • 公共边、公共角模型
  • 应用：证明线段相等、角相等。

• 1.3 角的平分线的性质

  • 性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
  • 判定：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
  • 应用：解决角度、线段长度问题。
  • 角平分线作法：利用圆规，以角顶点为圆心，任意半径画弧，交角的两边于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点，连接角顶点和交点，所得射线即为角平分线。

二、轴对称

• 2.1 轴对称图形

  • 定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
  • 常见轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形、圆等。

• 2.2 轴对称的性质

  • 对应点连线被对称轴垂直平分。
  • 对应线段相等，对应角相等。
  • 对称轴是对应点连线的垂直平分线。

• 2.3 等腰三角形

  • 定义：有两条边相等的三角形。
  • 性质：
    • 等腰三角形的两底角相等（等边对等角）。
    • 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
  • 判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。

• 2.4 等边三角形

  • 定义：三条边都相等的三角形。
  • 性质：
    • 等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°。
    • 等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质。
  • 判定：
    • 三边都相等的三角形是等边三角形。
    • 三个角都相等的三角形是等边三角形。
    • 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

• 2.5 线段的垂直平分线的性质

  • 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
  • 判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
  • 应用：确定线段的垂直平分线，解决距离问题。

三、实数

• 3.1 平方根

  • 定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
  • 表示：正数a的正的平方根记作√a，√a读作“根号a”。
  • 性质：
    • 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
    • 0的平方根是0。
    • 负数没有平方根。
  • 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作√a。

• 3.2 立方根

  • 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。
  • 表示：a的立方根记作∛a，∛a读作“三次根号a”。
  • 性质：
    • 正数有一个正的立方根。
    • 0的立方根是0。
    • 负数有一个负的立方根。

• 3.3 实数

  • 定义：有理数和无理数统称为实数。
  • 分类：
    • 按定义分：有理数，无理数
    • 按正负分：正实数，0，负实数
  • 数轴：数轴上的点与实数一一对应。
  • 绝对值：实数a的绝对值|a|：
    • 当a≥0时，|a| = a；
    • 当a＜0时，|a| = -a。
  • 运算：实数的运算与有理数运算类似，要注意运算顺序和符号。

四、整式的乘除与因式分解

• 4.1 整式的乘法

  • 幂的运算：
    • 同底数幂的乘法：a^m * a^n = a^(m+n)
    • 幂的乘方：(a^m)^n = a^(mn)
    • 积的乘方：(ab)^n = a^n * b^n
  • 整式的乘法：
    • 单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其余照抄。
    • 单项式乘多项式：m(a+b+c) = ma + mb + mc
    • 多项式乘多项式：(a+b)(m+n) = am + an + bm + bn
  • 乘法公式：
    • 平方差公式：(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
    • 完全平方公式：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2；(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

• 4.2 整式的除法

  • 幂的运算：
    • 同底数幂的除法：a^m ÷ a^n = a^(m-n) (a≠0, m＞n)
    • 零指数幂：a^0 = 1 (a≠0)
    • 负指数幂：a^(-p) = 1/a^p (a≠0, p为正整数)
  • 整式的除法：
    • 单项式除以单项式：系数相除，同底数幂相除，其余照抄。
    • 多项式除以单项式：(am+bm+cm) ÷ m = a + b + c

• 4.3 因式分解

  • 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
  • 方法：
    • 提公因式法：ma + mb + mc = m(a + b + c)
    • 运用公式法：
      • 平方差公式：a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
      • 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2；a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2
  • 步骤：先提公因式，再考虑公式法，分解到不能再分解为止。

五、分式

• 5.1 分式的概念

  • 定义：形如A/B的式子，其中A、B是整式，且B中含有字母，B≠0，叫做分式。
  • 分式有意义的条件：分母不等于零。
  • 分式值为零的条件：分子等于零，且分母不等于零。

• 5.2 分式的基本性质

  • 分子、分母同时乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
  • A/B = (AM)/(BM) (M≠0)；A/B = (A÷M)/(B÷M) (M≠0)

• 5.3 分式的运算

  • 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去的过程，叫做约分。
  • 通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做通分。
  • 分式的乘法：A/B C/D = (AC)/(B*D)
  • 分式的除法：A/B ÷ C/D = A/B D/C = (AD)/(B*C)
  • 分式的加减法：
    • 同分母分式相加减：A/C ± B/C = (A ± B)/C
    • 异分母分式相加减：先通分，再加减。

• 5.4 分式方程

  • 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
  • 解法：
    • 去分母：方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程。
    • 解整式方程。
    • 验根：把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于零，这个根就是原分式方程的增根，必须舍去。
  • 应用：解决工程问题、行程问题、顺水逆水问题等。