乘法除法思维导图

# 《乘法除法思维导图》

## 中心主题：乘法与除法

### 一级分支：乘法 (Multiplication)

#### 二级分支：概念与定义

*   **本质：** 同数累加的简便运算。例如：3 x 4 = 3 + 3 + 3 + 3
*   **要素：**
    *   **乘数 (Multiplier)：** 表示几个相同的数相加。
    *   **被乘数 (Multiplicand)：** 表示相加的这个数。
    *   **积 (Product)：** 乘法运算的结果。
*   **符号：** × (乘号)
*   **表达形式：** 被乘数 × 乘数 = 积
*   **应用场景：** 求解总数、面积、体积、倍数等。

#### 二级分支：运算规律与性质

*   **交换律 (Commutative Property)：** a × b = b × a (顺序不影响结果)
    *   **举例：** 2 × 5 = 5 × 2 = 10
*   **结合律 (Associative Property)：** (a × b) × c = a × (b × c) (多个数相乘，结合方式不影响结果)
    *   **举例：** (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24
*   **分配律 (Distributive Property)：** a × (b + c) = a × b + a × c (乘法对加法的分配律)
    *   **举例：** 2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4 = 14
*   **单位元 (Identity Element)：** 1 (任何数乘以1都等于它本身)
    *   **规则：** a × 1 = a
    *   **举例：** 7 × 1 = 7
*   **零元 (Zero Element)：** 0 (任何数乘以0都等于0)
    *   **规则：** a × 0 = 0
    *   **举例：** 9 × 0 = 0
*   **积的符号判定：**
    *   正数 × 正数 = 正数
    *   负数 × 负数 = 正数
    *   正数 × 负数 = 负数
    *   负数 × 正数 = 负数

#### 二级分支：乘法运算方法

*   **口算 (Mental Calculation)：** 简单乘法，常用九九乘法表。
*   **笔算 (Written Calculation)：** 多位数乘法，需要列竖式计算。
    *   **步骤：**
        1.  对齐数位。
        2.  从个位开始，用乘数的每一位分别乘以被乘数。
        3.  将每次乘得的积写在相应的数位上（注意进位）。
        4.  将所有部分的积加起来。
*   **估算 (Estimation)：** 近似计算，用于快速判断结果的范围。
*   **特殊技巧：**
    *   乘数为10, 100, 1000...：直接在被乘数后面加相应个数的0。
    *   乘数为5, 25：可以将乘数化为10/2, 100/4进行计算。

#### 二级分支：应用题型

*   **求总数：** 单价 × 数量 = 总价
*   **求面积：** 长 × 宽 = 面积 (矩形)； 底 × 高 = 面积 (平行四边形)
*   **求体积：** 长 × 宽 × 高 = 体积 (长方体)
*   **求倍数：** A是B的几倍？ A ÷ B = 倍数
*   **求增加量：** 原有数量 × 增加倍数 = 增加数量

### 一级分支：除法 (Division)

#### 二级分支：概念与定义

*   **本质：** 将一个数平均分成若干份，求每一份是多少，或者求一个数里面包含多少个另一个数。
*   **要素：**
    *   **被除数 (Dividend)：** 要分的总数。
    *   **除数 (Divisor)：** 分成几份或包含多少个。
    *   **商 (Quotient)：** 每一份的数量或包含的个数。
    *   **余数 (Remainder)：** 分不完的部分 (必须小于除数)。
*   **符号：** ÷ (除号) 或 / (斜杠)
*   **表达形式：** 被除数 ÷ 除数 = 商 ... 余数 或 被除数 / 除数 = 商 ... 余数
*   **应用场景：** 平均分配、等分、测量、求解比值等。

#### 二级分支：运算规律与性质

*   **除数不能为零：** 任何数除以0没有意义。
*   **除以1等于本身：** a ÷ 1 = a
*   **0除以任何非零数等于0：** 0 ÷ a = 0 (a ≠ 0)
*   **商不变性质：** 被除数和除数同时乘以或除以相同的非零数，商不变，余数也相应乘以或除以该数。
    *   **规则：** (a × c) ÷ (b × c) = a ÷ b (c ≠ 0); (a ÷ c) ÷ (b ÷ c) = a ÷ b (c ≠ 0)
*   **除法的验算：** 商 × 除数 + 余数 = 被除数

#### 二级分支：除法运算方法

*   **口算 (Mental Calculation)：** 简单除法，常用乘法口诀的逆运算。
*   **笔算 (Written Calculation)：** 多位数除法，需要列竖式计算。
    *   **步骤：**
        1.  从被除数的最高位开始，看够不够除以除数。
        2.  如果不够除，就看前两位，以此类推。
        3.  商写在相应数位的上面。
        4.  每次除后的余数要比除数小。
        5.  直到被除数的最后一位除完为止。
*   **估算 (Estimation)：** 近似计算，用于快速判断结果的范围。

#### 二级分支：应用题型

*   **平均分：** 总数 ÷ 份数 = 每份数量
*   **求份数：** 总数 ÷ 每份数量 = 份数
*   **求比值：** A ÷ B = 比值
*   **余数问题：** 理解余数的含义，并进行合理分析。

### 一级分支：乘法与除法的关系

#### 二级分支：互逆运算

*   **乘法和除法是互逆运算：** 一个乘法算式可以改写成两个除法算式，反之亦然。
    *   **举例：** 3 × 4 = 12  ->  12 ÷ 4 = 3 和 12 ÷ 3 = 4

#### 二级分支：解决复杂问题

*   **综合运用：** 很多实际问题需要同时运用乘法和除法才能解决。
*   **分析题意：** 仔细阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。
*   **确定运算顺序：** 根据题意和运算符号，确定先算什么，后算什么。
*   **检验结果：** 完成计算后，要认真检验结果是否符合题意。

#### 二级分支：与加减法的联系

*   **运算优先级：** 在没有括号的情况下，先算乘除，后算加减。
*   **混合运算：** 需要按照正确的运算顺序进行计算。
*   **括号的使用：** 括号可以改变运算顺序，先算括号里面的。

# 《乘法除法思维导图》 ## 中心主题：乘法与除法 ### 一级分支：乘法 (Multiplication) #### 二级分支：概念与定义 * **本质：** 同数累加的简便运算。例如：3 x 4 = 3 + 3 + 3 + 3 * **要素：** * **乘数 (Multiplier)：** 表示几个相同的数相加。 * **被乘数 (Multiplicand)：** 表示相加的这个数。 * **积 (Product)：** 乘法运算的结果。 * **符号：** × (乘号) * **表达形式：** 被乘数 × 乘数 = 积 * **应用场景：** 求解总数、面积、体积、倍数等。 #### 二级分支：运算规律与性质 * **交换律 (Commutative Property)：** a × b = b × a (顺序不影响结果) * **举例：** 2 × 5 = 5 × 2 = 10 * **结合律 (Associative Property)：** (a × b) × c = a × (b × c) (多个数相乘，结合方式不影响结果) * **举例：** (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24 * **分配律 (Distributive Property)：** a × (b + c) = a × b + a × c (乘法对加法的分配律) * **举例：** 2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4 = 14 * **单位元 (Identity Element)：** 1 (任何数乘以1都等于它本身) * **规则：** a × 1 = a * **举例：** 7 × 1 = 7 * **零元 (Zero Element)：** 0 (任何数乘以0都等于0) * **规则：** a × 0 = 0 * **举例：** 9 × 0 = 0 * **积的符号判定：** * 正数 × 正数 = 正数 * 负数 × 负数 = 正数 * 正数 × 负数 = 负数 * 负数 × 正数 = 负数 #### 二级分支：乘法运算方法 * **口算 (Mental Calculation)：** 简单乘法，常用九九乘法表。 * **笔算 (Written Calculation)：** 多位数乘法，需要列竖式计算。 * **步骤：** 1. 对齐数位。 2. 从个位开始，用乘数的每一位分别乘以被乘数。 3. 将每次乘得的积写在相应的数位上（注意进位）。 4. 将所有部分的积加起来。 * **估算 (Estimation)：** 近似计算，用于快速判断结果的范围。 * **特殊技巧：** * 乘数为10, 100, 1000...：直接在被乘数后面加相应个数的0。 * 乘数为5, 25：可以将乘数化为10/2, 100/4进行计算。 #### 二级分支：应用题型 * **求总数：** 单价 × 数量 = 总价 * **求面积：** 长 × 宽 = 面积 (矩形)；底 × 高 = 面积 (平行四边形) * **求体积：** 长 × 宽 × 高 = 体积 (长方体) * **求倍数：** A是B的几倍？ A ÷ B = 倍数 * **求增加量：** 原有数量 × 增加倍数 = 增加数量 ### 一级分支：除法 (Division) #### 二级分支：概念与定义 * **本质：** 将一个数平均分成若干份，求每一份是多少，或者求一个数里面包含多少个另一个数。 * **要素：** * **被除数 (Dividend)：** 要分的总数。 * **除数 (Divisor)：** 分成几份或包含多少个。 * **商 (Quotient)：** 每一份的数量或包含的个数。 * **余数 (Remainder)：** 分不完的部分 (必须小于除数)。 * **符号：** ÷ (除号) 或 / (斜杠) * **表达形式：** 被除数 ÷ 除数 = 商 ... 余数或被除数 / 除数 = 商 ... 余数 * **应用场景：** 平均分配、等分、测量、求解比值等。 #### 二级分支：运算规律与性质 * **除数不能为零：** 任何数除以0没有意义。 * **除以1等于本身：** a ÷ 1 = a * **0除以任何非零数等于0：** 0 ÷ a = 0 (a ≠ 0) * **商不变性质：** 被除数和除数同时乘以或除以相同的非零数，商不变，余数也相应乘以或除以该数。 * **规则：** (a × c) ÷ (b × c) = a ÷ b (c ≠ 0); (a ÷ c) ÷ (b ÷ c) = a ÷ b (c ≠ 0) * **除法的验算：** 商 × 除数 + 余数 = 被除数 #### 二级分支：除法运算方法 * **口算 (Mental Calculation)：** 简单除法，常用乘法口诀的逆运算。 * **笔算 (Written Calculation)：** 多位数除法，需要列竖式计算。 * **步骤：** 1. 从被除数的最高位开始，看够不够除以除数。 2. 如果不够除，就看前两位，以此类推。 3. 商写在相应数位的上面。 4. 每次除后的余数要比除数小。 5. 直到被除数的最后一位除完为止。 * **估算 (Estimation)：** 近似计算，用于快速判断结果的范围。 #### 二级分支：应用题型 * **平均分：** 总数 ÷ 份数 = 每份数量 * **求份数：** 总数 ÷ 每份数量 = 份数 * **求比值：** A ÷ B = 比值 * **余数问题：** 理解余数的含义，并进行合理分析。 ### 一级分支：乘法与除法的关系 #### 二级分支：互逆运算 * **乘法和除法是互逆运算：** 一个乘法算式可以改写成两个除法算式，反之亦然。 * **举例：** 3 × 4 = 12 -> 12 ÷ 4 = 3 和 12 ÷ 3 = 4 #### 二级分支：解决复杂问题 * **综合运用：** 很多实际问题需要同时运用乘法和除法才能解决。 * **分析题意：** 仔细阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。 * **确定运算顺序：** 根据题意和运算符号，确定先算什么，后算什么。 * **检验结果：** 完成计算后，要认真检验结果是否符合题意。 #### 二级分支：与加减法的联系 * **运算优先级：** 在没有括号的情况下，先算乘除，后算加减。 * **混合运算：** 需要按照正确的运算顺序进行计算。 * **括号的使用：** 括号可以改变运算顺序，先算括号里面的。

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