《比例的思维导图》
中心主题：比例
I. 比例的定义与基本性质
- 定义：
- 两个比值相等的式子。
- 形式：a/b = c/d (其中 b ≠ 0, d ≠ 0)
- 读作：a 比 b 等于 c 比 d
- 各部分名称：
- a, d: 外项 (extreme terms)
- b, c: 内项 (mean terms)
- 基本性质 (比例的性质)：
- 内项积等于外项积：若 a/b = c/d，则 ad = bc
- 可用于判断两个比是否能组成比例：计算内项积和外项积，相等则能组成比例。
- 可用于解比例：已知三个数求第四个数，根据 ad = bc 列方程求解。
- 变式（基于基本性质的推导）：
- 更比性质：若 a/b = c/d，则 a/c = b/d
- 反比性质：若 a/b = c/d，则 b/a = d/c
- 合比性质：若 a/b = c/d，则 (a+b)/b = (c+d)/d
- 分比性质：若 a/b = c/d，则 (a-b)/b = (c-d)/d
- 合分比性质：若 a/b = c/d，则 (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d)
- 注意事项：
- 比值必须存在（即分母不能为0）
- 单位必须统一 (对于应用题)
- 比例式中，四个数不能任意颠倒，必须保证对应关系。
II. 比例的应用
- 解比例：
- 定义：根据比例的基本性质，求比例中未知项的过程。
- 步骤：
- 写出比例式。
- 根据内项积等于外项积列方程。
- 解方程。
- 验算。
- 注意：比例式中的未知数只能出现一个。
- 正比例：
- 定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
- 表达式：y/x = k (k 为常数，且 k ≠ 0) 或 y = kx
- 图像：一条经过原点的直线。
- 判断方法：
- 判断两种量是否相关联。
- 看两种量中的相对应数值的比值是否一定。
- 应用：
- 单价 × 数量 = 总价 (单价一定，总价和数量成正比例)
- 速度 × 时间 = 路程 (速度一定，路程和时间成正比例)
- 工作效率 × 工作时间 = 工作总量 (工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例)
- 反比例：
- 定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
- 表达式：x × y = k (k 为常数，且 k ≠ 0) 或 y = k/x
- 图像：双曲线。
- 判断方法：
- 判断两种量是否相关联。
- 看两种量中的相对应数值的积是否一定。
- 应用：
- 速度 × 时间 = 路程 (路程一定，速度和时间成反比例)
- 工作效率 × 工作时间 = 工作总量 (工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例)
- 长 × 宽 = 面积 (面积一定，长和宽成反比例)
- 比例尺：
- 定义：图上距离与实际距离的比。
- 形式：图上距离 : 实际距离 = 比例尺
- 种类：
- 数值比例尺：1:10000 (前项通常为 1)
- 线段比例尺：用线段表示图上距离代表实际距离。
- 应用：
- 根据比例尺求图上距离或实际距离。
- 比例尺 = 图上距离 / 实际距离
- 实际距离 = 图上距离 / 比例尺
- 图上距离 = 实际距离 × 比例尺
- 比例尺的扩大与缩小：注意面积的变化是长度变化量的平方倍。
- 按比例分配：
- 定义：把一个数量按照一定的比进行分配。
- 解题步骤：
- 求出总份数。
- 求出每份是多少。
- 分别求出各部分是多少。
- 方法：可以转化为求一个数的几分之几是多少的问题。
III. 比例与其他数学概念的联系
- 分数： 比例可以表示成两个分数的相等。 a/b = c/d
- 百分数： 百分数是特殊的分数，可以将百分数问题转化为比例问题求解。
- 比： 比例是两个比相等的式子，比是比例的基础。
- 方程： 解比例的过程实际上是解方程的过程。
- 函数： 正比例和反比例都可以看作特殊的函数。
IV. 解题技巧与注意事项
- 单位统一： 在计算比例时，务必确保所有量的单位一致。
- 找准对应关系： 在应用题中，要仔细分析题意，找准相关联的量以及它们的对应关系。
- 灵活运用比例的性质： 熟练掌握并灵活运用比例的各种性质，可以简化计算过程。
- 验算： 解比例后，要进行验算，确保结果正确。
- 注意反比例的“积一定”和正比例的“比值一定”。 这两个是判断正反比例关系的关键。
- 善用图表： 对于复杂的应用题，可以借助图表来帮助分析问题，理清思路。
V. 常见题型
- 判断两个比能否组成比例
- 解比例
- 判断两种量成正比例还是反比例
- 求比例尺，图上距离，实际距离
- 按比例分配
- 利用比例解决实际问题
VI. 易错点
- 单位不统一导致计算错误
- 正比例和反比例概念混淆
- 比例尺单位换算错误
- 没有找准对应关系导致列式错误
- 忘记验算