《比的思维导图》

一、比的定义及表示

• 定义： 两个数相除又叫做两个数的比。

  • 本质：一种关系，表示两个数之间的倍数关系。
  • 与除法、分数的关系：比与除法、分数有紧密的联系。
    • 比的前项相当于除法中的被除数，相当于分数中的分子。
    • 比的后项相当于除法中的除数，相当于分数中的分母。
    • 比号相当于除法中的除号，相当于分数中的分数线。
    • 比值相当于除法中的商，相当于分数的分数值。

• 表示方法：

  • a : b （读作：a 比 b）
  • a 是比的前项，b 是比的后项。
  • 比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
    • 比值可以用整数、小数或分数表示。
  • 特殊情况：后项不能为零。

二、比的基本性质

• 性质： 比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变。
  • 数学表达式：a : b = (a × c) : (b × c) = (a ÷ c) : (b ÷ c) (c ≠ 0)
  • 理解：相当于分数的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数的值不变。
  • 应用：化简比的重要依据。

三、比的应用

• 化简比：
  • 整数比：同时除以最大公约数。
  • 分数比：先通分，再化简分子之间的比。或者同时乘以分母的最小公倍数，再化简。
  • 小数比：同时乘以10的n次方，化成整数比，再化简。
  • 注意：化简后的比，前项和后项都是整数，并且互质。
• 按比例分配：
  • 定义：把一个数量按照一定的比进行分配。
  • 方法：
    1. 求出总份数：将比的前后项加起来。
    2. 求出每一份的量：用总数量除以总份数。
    3. 求出各部分对应的量：用每一份的量分别乘以各自对应的比的前项或后项。
  • 公式：各部分所占的量 = 总量 × (该部分所对应的比值 ÷ 总份数)
  • 应用：生活中常见的比例分配问题，例如：按班级人数分配任务，按投资比例分配利润等。
• 比例尺：
  • 定义：图上距离与实际距离的比。
  • 公式：比例尺 = 图上距离 : 实际距离
  • 类型：
    • 数值比例尺：用数字表示的比例尺，如 1:100000。
    • 线段比例尺：用线段表示的比例尺，方便直接在地图上量取距离。
  • 应用：地图、工程图纸等。
  • 比例尺的换算：注意单位换算，通常将实际距离转化为与图上距离相同的单位。
• 比的应用题：
  • 寻找不变量：解决比的应用题的关键是找到不变量。
    • 例如：总量不变、某一部分的量不变等。
  • 设份数法：当题目中出现“几分之几”或者比例关系时，可以设每一份为x，然后用代数的方法求解。
  • 转化单位法：将不同单位的量转化为同一单位后再进行比较。

四、比与分数、除法的联系与区别

五、易错点

• 混淆比与比值：比是一种关系，比值是一个数。
• 忘记化简比：化简比的结果必须是最简整数比。
• 单位不一致：计算比例尺或解决比例应用题时，要注意单位统一。
• 错误理解按比例分配：明确总量和分配比例。
• 后项为0的问题：比的后项不能为0，要特别注意题目中涉及除法的隐含条件。

六、思维导图总结

比是一种重要的数学概念，贯穿小学、初中乃至高中数学。理解比的定义、性质和应用，能够帮助我们解决各种实际问题。从定义出发，深入理解比的本质，掌握化简比的方法，熟练运用按比例分配，并能够灵活解决比例尺相关问题，最终提高解决复杂问题的能力。比不仅仅是一个数学概念，更是一种思维方式，帮助我们更好地理解和分析世界。