比和比例的思维导图六年级
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# 《比和比例的思维导图六年级》
## 一、 比的认识
### 1.1 比的定义
* 两个数相除又叫做两个数的比。
* 表示两个数之间的倍数关系。
* 例如：3:2，读作“三比二”。
### 1.2 比的各部分名称
* 3 : 2 = 1.5
* 前项 : 后项 = 比值
* 前项：比号前面的数。
* 后项：比号后面的数。
* 比值：前项除以后项所得的商。
### 1.3 比与除法、分数的关系
* **联系:**
* 比：一种关系
* 除法：一种运算
* 分数：一种数
* **区别:**
| 项目 | 比 | 除法 | 分数 |
| ------ | ------- | ------- | ------- |
| 意义 | 表示关系 | 一种运算 | 一种数 |
| 各部分 | 前项:后项 | 被除数÷除数 | 分子/分母 |
| 变化 | 前后项可以变化 | 除数不能为0 | 分母不能为0 |
### 1.4 比的基本性质
* 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
* 用字母表示： a : b = (a × c) : (b × c) = (a ÷ c) : (b ÷ c) (c≠0)
### 1.5 化简比
* 化简比的目的：将比化成最简整数比。
* 方法：
* 整数比：直接利用比的基本性质，同时除以最大公约数。
* 分数比：先通分，然后去掉分母，化为整数比。 例如：1/2 : 1/3 => 3/6 : 2/6 => 3:2
* 小数比：先将小数转化为整数，再化简。 例如：0.5 : 0.25 => 50 : 25 => 2:1
* 结果：最简整数比（前项和后项都是互质的整数）。
## 二、 比例的认识
### 2.1 比例的定义
* 表示两个比相等的式子叫做比例。
* 例如：2:3 = 4:6
### 2.2 比例的各部分名称
* 2 : 3 = 4 : 6
* 内项 外项
* 内项：中间的两个数。
* 外项：两端的两个数。
### 2.3 比例的基本性质
* 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。（交叉相乘）
* 如果a : b = c : d，那么 ad = bc (a,b,c,d都不为0)
* 比例性质的应用：判断两个比能否组成比例。
### 2.4 解比例
* 根据比例的基本性质，将比例式转化为方程。
* 例如：x : 5 = 12 : 15 => 15x = 5 * 12 => x = 4
## 三、 比例的应用
### 3.1 正比例
* **定义:** 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
* **关系式:** y/x = k (一定) 或 y = kx (k不等于0)
* **判断方法:**
* 两种相关联的量。
* 一种量变化，另一种量也随着变化。
* 两种量中相对应的两个数的比值一定。
* **图像:** 一条经过原点的直线。
* **例子:** 路程和时间（速度一定），单价和总价（数量一定）。
### 3.2 反比例
* **定义:** 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
* **关系式:** x * y = k (一定) 或 y = k/x (k不等于0)
* **判断方法:**
* 两种相关联的量。
* 一种量变化，另一种量也随着变化。
* 两种量中相对应的两个数的积一定。
* **图像:** 双曲线的一部分。
* **例子:** 速度和时间（路程一定），长和宽（面积一定）。
### 3.3 比例尺
* **定义:** 图上距离和实际距离的比。
* **公式:** 比例尺 = 图上距离 : 实际距离
* **类型:**
* 数值比例尺：例如 1:100000
* 线段比例尺：一段线段表示实际距离多少千米。
* **应用:** 根据比例尺求图上距离或实际距离。
* 实际距离 = 图上距离 / 比例尺
* 图上距离 = 实际距离 × 比例尺
* **注意单位统一:** 通常将实际距离转化为与图上距离相同的单位。
### 3.4 解决比例问题
* **方法步骤:**
1. 审题，明确问题和已知条件。
2. 判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。
3. 设未知数x。
4. 根据正比例或反比例的关系列出比例式。
5. 解比例。
6. 检验并写答。
### 3.5 图形的放大与缩小
* **定义:** 图形的形状不变，只是大小改变。
* **方法:** 将图形的各边按相同的比例放大或缩小。
* **例如:** 将一个长方形的长和宽都扩大2倍，面积扩大4倍。
## 四、 易错点总结
* **混淆比和比例:** 比是一种关系，比例是表示两个比相等的式子。
* **化简比时忘记0除外:** 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外）。
* **判断正反比例时忽略条件:** 必须是两种相关联的量，且一种量变化，另一种量也随着变化。
* **比例尺单位不统一:** 计算比例尺时要注意单位统一。
* **解比例时计算错误:** 熟练掌握解比例的方法，避免计算错误。
## 五、 练习题类型
* 填空题：考察基本概念的理解。
* 选择题：考察对概念的辨析。
* 判断题：考察对概念的掌握程度。
* 计算题：化简比、解比例。
* 应用题：正比例、反比例、比例尺的应用。
* 作图题：图形的放大与缩小。
