比和比例的思维导图六年级
《比和比例的思维导图六年级》
一、 比的认识
1.1 比的定义
- 两个数相除又叫做两个数的比。
- 表示两个数之间的倍数关系。
- 例如：3:2，读作“三比二”。
1.2 比的各部分名称
- 3 : 2 = 1.5
- 前项：比号前面的数。
- 后项：比号后面的数。
- 比值：前项除以后项所得的商。
1.3 比与除法、分数的关系
- 联系:
-
| 区别: |
项目 |
比 |
除法 |
分数 |
| 意义 |
表示关系 |
一种运算 |
一种数 |
| 各部分 |
前项:后项 |
被除数÷除数 |
分子/分母 |
| 变化 |
前后项可以变化 |
除数不能为0 |
分母不能为0 |
1.4 比的基本性质
- 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
- 用字母表示： a : b = (a × c) : (b × c) = (a ÷ c) : (b ÷ c) (c≠0)
1.5 化简比
- 化简比的目的：将比化成最简整数比。
- 方法：
- 整数比：直接利用比的基本性质，同时除以最大公约数。
- 分数比：先通分，然后去掉分母，化为整数比。 例如：1/2 : 1/3 => 3/6 : 2/6 => 3:2
- 小数比：先将小数转化为整数，再化简。 例如：0.5 : 0.25 => 50 : 25 => 2:1
- 结果：最简整数比（前项和后项都是互质的整数）。
二、 比例的认识
2.1 比例的定义
- 表示两个比相等的式子叫做比例。
- 例如：2:3 = 4:6
2.2 比例的各部分名称
- 2 : 3 = 4 : 6
- 内项：中间的两个数。
- 外项：两端的两个数。
2.3 比例的基本性质
- 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。（交叉相乘）
- 如果a : b = c : d，那么 ad = bc (a,b,c,d都不为0)
- 比例性质的应用：判断两个比能否组成比例。
2.4 解比例
- 根据比例的基本性质，将比例式转化为方程。
- 例如：x : 5 = 12 : 15 => 15x = 5 * 12 => x = 4
三、 比例的应用
3.1 正比例
- 定义: 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
- 关系式: y/x = k (一定) 或 y = kx (k不等于0)
- 判断方法:
- 两种相关联的量。
- 一种量变化，另一种量也随着变化。
- 两种量中相对应的两个数的比值一定。
- 图像: 一条经过原点的直线。
- 例子: 路程和时间（速度一定），单价和总价（数量一定）。
3.2 反比例
- 定义: 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
- 关系式: x * y = k (一定) 或 y = k/x (k不等于0)
- 判断方法:
- 两种相关联的量。
- 一种量变化，另一种量也随着变化。
- 两种量中相对应的两个数的积一定。
- 图像: 双曲线的一部分。
- 例子: 速度和时间（路程一定），长和宽（面积一定）。
3.3 比例尺
- 定义: 图上距离和实际距离的比。
- 公式: 比例尺 = 图上距离 : 实际距离
- 类型:
- 数值比例尺：例如 1:100000
- 线段比例尺：一段线段表示实际距离多少千米。
- 应用: 根据比例尺求图上距离或实际距离。
- 实际距离 = 图上距离 / 比例尺
- 图上距离 = 实际距离 × 比例尺
- 注意单位统一: 通常将实际距离转化为与图上距离相同的单位。
3.4 解决比例问题
- 方法步骤:
- 审题，明确问题和已知条件。
- 判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。
- 设未知数x。
- 根据正比例或反比例的关系列出比例式。
- 解比例。
- 检验并写答。
3.5 图形的放大与缩小
- 定义: 图形的形状不变，只是大小改变。
- 方法: 将图形的各边按相同的比例放大或缩小。
- 例如: 将一个长方形的长和宽都扩大2倍，面积扩大4倍。
四、 易错点总结
- 混淆比和比例: 比是一种关系，比例是表示两个比相等的式子。
- 化简比时忘记0除外: 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外）。
- 判断正反比例时忽略条件: 必须是两种相关联的量，且一种量变化，另一种量也随着变化。
- 比例尺单位不统一: 计算比例尺时要注意单位统一。
- 解比例时计算错误: 熟练掌握解比例的方法，避免计算错误。
五、 练习题类型
- 填空题：考察基本概念的理解。
- 选择题：考察对概念的辨析。
- 判断题：考察对概念的掌握程度。
- 计算题：化简比、解比例。
- 应用题：正比例、反比例、比例尺的应用。
- 作图题：图形的放大与缩小。
