比和比例思维导图

# 《比和比例思维导图》

## 中心主题：比和比例

### 一、比 (Ratio)

#### 1.1 定义：

*   表示两个数之间的关系，说明一个数是另一个数的多少倍，或是一个数占另一个数的几分之几。
*   形式：a : b (读作 a 比 b)
*   a：前项 (antecedent)
*   b：后项 (consequent)
*   比值： a/b  (比的前项除以后项所得的商)

#### 1.2 比的性质：

*   基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为零的数，比值不变。
    *   a : b = (a × c) : (b × c)  (c ≠ 0)
    *   a : b = (a ÷ c) : (b ÷ c)  (c ≠ 0)
*   作用：化简比、求比值。

#### 1.3 化简比：

*   定义：把一个比化成最简整数比的过程。
*   方法：
    *   整数比：前项和后项同时除以它们的最大公约数。
    *   分数比：先通分，再化为整数比。或者前项后项同时乘以分母的最小公倍数。
    *   小数比：先将小数化为整数，再化简。
*   结果：前项和后项互质的比（最大公约数为1）。

#### 1.4 比的应用：

*   分配问题：
    *   已知总量和各部分的比，求各部分的值。
    *   方法：按比例分配。
*   按比例分配公式：
    *   总数 × (部分所占比例 / 总比例) = 该部分的值
*   比例尺：
    *   图上距离与实际距离的比。
    *   比例尺 = 图上距离 : 实际距离

### 二、比例 (Proportion)

#### 2.1 定义：

*   表示两个比相等的式子。
*   形式：a : b = c : d  或  a/b = c/d
*   内项：b, c
*   外项：a, d
*   组成比例的关键：两个比的比值相等。

#### 2.2 比例的性质：

*   基本性质：
    *   内项积等于外项积。
    *   a : b = c : d  =>  ad = bc
*   合比性质：
    *   a/b = c/d  => (a + b)/b = (c + d)/d
*   分比性质：
    *   a/b = c/d  => (a - b)/b = (c - d)/d
*   等比性质：
    *   如果 a/b = c/d = e/f = ... = k  (b + d + f + ... ≠ 0)
    *   那么 (a + c + e + ... ) / (b + d + f + ... ) = k

#### 2.3 正比例：

*   定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
*   关系式：y/x = k (k为定值，且不等于0)
*   图像：直线，经过原点。
*   例子：路程与时间（速度一定）、总价与数量（单价一定）。

#### 2.4 反比例：

*   定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
*   关系式：x * y = k (k为定值，且不等于0)
*   图像：双曲线。
*   例子：速度与时间（路程一定）、总人数与每组人数（总数一定）。

#### 2.5 解比例：

*   依据：比例的基本性质（内项积等于外项积）。
*   方法：先写成等式，再运用积相等求解。

### 三、比和比例的应用

#### 3.1 比例尺的应用：

*   求图上距离：实际距离 × 比例尺 = 图上距离
*   求实际距离：图上距离 ÷ 比例尺 = 实际距离
*   求比例尺：图上距离 : 实际距离 = 比例尺

#### 3.2 解决实际问题：

*   判断两种量是否成正比例或反比例。
*   列出比例式或方程。
*   求解。
*   检验。

#### 3.3 相似图形：

*   对应角相等，对应边成比例。
*   相似比：对应边的比。
*   面积比：相似比的平方。
*   体积比：相似比的立方。

### 四、比和比例与其他数学知识的联系

#### 4.1 分数：比和比例可以转化为分数形式。
#### 4.2 百分数：百分数可以看作是以100为后项的比。
#### 4.3 方程：比例关系可以转化为方程进行求解。
#### 4.4 函数：正比例和反比例都是特殊的函数关系。
#### 4.5 几何：比例可以应用于相似图形的计算，如三角形相似，对应边成比例。

### 五、易错点和注意事项

*   注意区分比和比例的定义。
*   化简比时，确保前项和后项都是整数，并且互质。
*   比例尺的单位要统一。
*   判断正反比例关系时，注意变化的量和不变的量。
*   解比例时，注意内项和外项的对应关系。
*   应用比例解决实际问题时，注意单位换算和结果的实际意义。

### 六、拓展

*   黄金分割：一种特殊的比，约为0.618。
*   人体比例：人体结构中存在的比例关系，如头长与身高的比例。
*   金融应用：利率、汇率等都涉及比和比例的概念。

# 《比和比例思维导图》 ## 中心主题：比和比例 ### 一、比 (Ratio) #### 1.1 定义： * 表示两个数之间的关系，说明一个数是另一个数的多少倍，或是一个数占另一个数的几分之几。 * 形式：a : b (读作 a 比 b) * a：前项 (antecedent) * b：后项 (consequent) * 比值： a/b (比的前项除以后项所得的商) #### 1.2 比的性质： * 基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为零的数，比值不变。 * a : b = (a × c) : (b × c) (c ≠ 0) * a : b = (a ÷ c) : (b ÷ c) (c ≠ 0) * 作用：化简比、求比值。 #### 1.3 化简比： * 定义：把一个比化成最简整数比的过程。 * 方法： * 整数比：前项和后项同时除以它们的最大公约数。 * 分数比：先通分，再化为整数比。或者前项后项同时乘以分母的最小公倍数。 * 小数比：先将小数化为整数，再化简。 * 结果：前项和后项互质的比（最大公约数为1）。 #### 1.4 比的应用： * 分配问题： * 已知总量和各部分的比，求各部分的值。 * 方法：按比例分配。 * 按比例分配公式： * 总数 × (部分所占比例 / 总比例) = 该部分的值 * 比例尺： * 图上距离与实际距离的比。 * 比例尺 = 图上距离 : 实际距离 ### 二、比例 (Proportion) #### 2.1 定义： * 表示两个比相等的式子。 * 形式：a : b = c : d 或 a/b = c/d * 内项：b, c * 外项：a, d * 组成比例的关键：两个比的比值相等。 #### 2.2 比例的性质： * 基本性质： * 内项积等于外项积。 * a : b = c : d => ad = bc * 合比性质： * a/b = c/d => (a + b)/b = (c + d)/d * 分比性质： * a/b = c/d => (a - b)/b = (c - d)/d * 等比性质： * 如果 a/b = c/d = e/f = ... = k (b + d + f + ... ≠ 0) * 那么 (a + c + e + ... ) / (b + d + f + ... ) = k #### 2.3 正比例： * 定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 * 关系式：y/x = k (k为定值，且不等于0) * 图像：直线，经过原点。 * 例子：路程与时间（速度一定）、总价与数量（单价一定）。 #### 2.4 反比例： * 定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 * 关系式：x * y = k (k为定值，且不等于0) * 图像：双曲线。 * 例子：速度与时间（路程一定）、总人数与每组人数（总数一定）。 #### 2.5 解比例： * 依据：比例的基本性质（内项积等于外项积）。 * 方法：先写成等式，再运用积相等求解。 ### 三、比和比例的应用 #### 3.1 比例尺的应用： * 求图上距离：实际距离 × 比例尺 = 图上距离 * 求实际距离：图上距离 ÷ 比例尺 = 实际距离 * 求比例尺：图上距离 : 实际距离 = 比例尺 #### 3.2 解决实际问题： * 判断两种量是否成正比例或反比例。 * 列出比例式或方程。 * 求解。 * 检验。 #### 3.3 相似图形： * 对应角相等，对应边成比例。 * 相似比：对应边的比。 * 面积比：相似比的平方。 * 体积比：相似比的立方。 ### 四、比和比例与其他数学知识的联系 #### 4.1 分数：比和比例可以转化为分数形式。 #### 4.2 百分数：百分数可以看作是以100为后项的比。 #### 4.3 方程：比例关系可以转化为方程进行求解。 #### 4.4 函数：正比例和反比例都是特殊的函数关系。 #### 4.5 几何：比例可以应用于相似图形的计算，如三角形相似，对应边成比例。 ### 五、易错点和注意事项 * 注意区分比和比例的定义。 * 化简比时，确保前项和后项都是整数，并且互质。 * 比例尺的单位要统一。 * 判断正反比例关系时，注意变化的量和不变的量。 * 解比例时，注意内项和外项的对应关系。 * 应用比例解决实际问题时，注意单位换算和结果的实际意义。 ### 六、拓展 * 黄金分割：一种特殊的比，约为0.618。 * 人体比例：人体结构中存在的比例关系，如头长与身高的比例。 * 金融应用：利率、汇率等都涉及比和比例的概念。

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