《比和比例思维导图》
中心主题：比和比例
一、比 (Ratio)
1.1 定义：
- 表示两个数之间的关系，说明一个数是另一个数的多少倍，或是一个数占另一个数的几分之几。
- 形式：a : b (读作 a 比 b)
- a：前项 (antecedent)
- b：后项 (consequent)
- 比值： a/b (比的前项除以后项所得的商)
1.2 比的性质：
- 基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为零的数，比值不变。
- a : b = (a × c) : (b × c) (c ≠ 0)
- a : b = (a ÷ c) : (b ÷ c) (c ≠ 0)
- 作用：化简比、求比值。
1.3 化简比：
- 定义：把一个比化成最简整数比的过程。
- 方法：
- 整数比：前项和后项同时除以它们的最大公约数。
- 分数比：先通分，再化为整数比。或者前项后项同时乘以分母的最小公倍数。
- 小数比：先将小数化为整数，再化简。
- 结果：前项和后项互质的比（最大公约数为1）。
1.4 比的应用：
- 分配问题：
- 已知总量和各部分的比，求各部分的值。
- 方法：按比例分配。
- 按比例分配公式：
- 总数 × (部分所占比例 / 总比例) = 该部分的值
- 比例尺：
- 图上距离与实际距离的比。
- 比例尺 = 图上距离 : 实际距离
二、比例 (Proportion)
2.1 定义：
- 表示两个比相等的式子。
- 形式：a : b = c : d 或 a/b = c/d
- 内项：b, c
- 外项：a, d
- 组成比例的关键：两个比的比值相等。
2.2 比例的性质：
- 基本性质：
- 内项积等于外项积。
- a : b = c : d => ad = bc
- 合比性质：
- a/b = c/d => (a + b)/b = (c + d)/d
- 分比性质：
- a/b = c/d => (a - b)/b = (c - d)/d
- 等比性质：
- 如果 a/b = c/d = e/f = ... = k (b + d + f + ... ≠ 0)
- 那么 (a + c + e + ... ) / (b + d + f + ... ) = k
2.3 正比例：
- 定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
- 关系式：y/x = k (k为定值，且不等于0)
- 图像：直线，经过原点。
- 例子：路程与时间（速度一定）、总价与数量（单价一定）。
2.4 反比例：
- 定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
- 关系式：x * y = k (k为定值，且不等于0)
- 图像：双曲线。
- 例子：速度与时间（路程一定）、总人数与每组人数（总数一定）。
2.5 解比例：
- 依据：比例的基本性质（内项积等于外项积）。
- 方法：先写成等式，再运用积相等求解。
三、比和比例的应用
3.1 比例尺的应用：
- 求图上距离：实际距离 × 比例尺 = 图上距离
- 求实际距离：图上距离 ÷ 比例尺 = 实际距离
- 求比例尺：图上距离 : 实际距离 = 比例尺
3.2 解决实际问题：
- 判断两种量是否成正比例或反比例。
- 列出比例式或方程。
- 求解。
- 检验。
3.3 相似图形：
- 对应角相等，对应边成比例。
- 相似比：对应边的比。
- 面积比：相似比的平方。
- 体积比：相似比的立方。
四、比和比例与其他数学知识的联系
4.1 分数：比和比例可以转化为分数形式。
4.2 百分数：百分数可以看作是以100为后项的比。
4.3 方程：比例关系可以转化为方程进行求解。
4.4 函数：正比例和反比例都是特殊的函数关系。
4.5 几何：比例可以应用于相似图形的计算，如三角形相似，对应边成比例。
五、易错点和注意事项
- 注意区分比和比例的定义。
- 化简比时，确保前项和后项都是整数，并且互质。
- 比例尺的单位要统一。
- 判断正反比例关系时，注意变化的量和不变的量。
- 解比例时，注意内项和外项的对应关系。
- 应用比例解决实际问题时，注意单位换算和结果的实际意义。
六、拓展
- 黄金分割：一种特殊的比，约为0.618。
- 人体比例：人体结构中存在的比例关系，如头长与身高的比例。
- 金融应用：利率、汇率等都涉及比和比例的概念。