《北京师范大学出版社 数学五年级上册 第五单元 分数的意义》思维导图
中心主题：分数的意义
一、 分数的产生
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1. 起源：
- 源于生活实际需求：平均分物、测量等。
- 整数无法满足精确表达的需求。
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2. 表示：
- 把一个整体平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数。
- "整体" 可以是单个物体，也可以是多个物体组成的一个集合。
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3. 重要概念：
- 平均分： 分成相同的几份，强调“相同”。
- 份数： 指平均分成的总份数。
- 表示的份数： 指取出的份数。
二、 分数的意义
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1. 定义：
- 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
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2. 单位“1”：
- 定义： 一个整体，可以是单个物体，一个计量单位，或者一些物体组成的一个群体。
- 重要性： 明确单位“1”是理解分数意义的基础。
- 变化： 单位“1”可以根据需要改变，但分数表示的是相对于单位“1”的部分。
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3. 分数单位：
- 定义： 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数。
- 表示： 例如，将单位“1”平均分成5份，一份就是1/5，1/5就是这个分数的分数单位。
- 组成： 每个分数都由若干个分数单位组成。 例如，3/5 由3个1/5组成。
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4. 分数的组成：
- 分子： 表示取了多少份。
- 分母： 表示把单位“1”平均分成了多少份。
- 分数线： 表示除法运算，将分子除以分母。
- 读法： 先读分母，再读“分之”，最后读分子。
三、 分类
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1. 真分数：
- 定义： 分子小于分母的分数。
- 特点： 真分数小于1。
- 举例： 1/2, 2/3, 3/4, 5/8
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2. 假分数：
- 定义： 分子大于或等于分母的分数。
- 特点： 假分数大于或等于1。
- 举例： 4/4, 5/3, 7/2, 9/9
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3. 带分数：
- 定义： 由整数部分和真分数部分组成的分数。
- 特点： 大于1。
- 举例： 1 1/2, 2 1/4, 3 2/5
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4. 整数：
- 可以看做分母为1的分数，如3可以看做3/1。
四、 分数与除法的关系
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1. 关系：
- 分数线可以理解为除号。
- 分数的分子相当于被除数。
- 分数的分母相当于除数。
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2. 公式：
- a ÷ b = a/b (b ≠ 0)
- 被除数 ÷ 除数 = 分子 / 分母
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3. 应用：
- 解决一些实际问题，例如：将3米长的绳子平均分成5段，每段长多少米？ 3 ÷ 5 = 3/5 米
五、 分数的基本性质
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1. 内容：
- 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
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2. 数学表达式：
- a/b = (a × c) / (b × c) (c ≠ 0)
- a/b = (a ÷ c) / (b ÷ c) (c ≠ 0)
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3. 应用：
- 约分： 将分数化简成最简分数。
- 通分： 将分母不同的分数化成同分母的分数。
六、 约分
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1. 定义：
- 把一个分数的分子和分母同时除以它们的最大公因数，使分数的值不变，这个过程叫做约分。
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2. 最简分数：
- 分子和分母互质的分数称为最简分数。
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3. 方法：
- 找到分子和分母的最大公因数。
- 同时除以最大公因数。
七、 通分
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1. 定义：
- 把几个分母不相同的分数分别化成和原来分数相等的同分母的分数，叫做通分。
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2. 公分母：
- 通常取原来几个分母的最小公倍数作为公分母。
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3. 方法：
- 找出各分母的最小公倍数。
- 将每个分数的分母变成最小公倍数，同时分子也要相应的变化。
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4. 目的:
- 比较大小。
- 进行分数加减运算。
八、 假分数化成整数或带分数
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1. 化成整数：
- 当分子是分母的倍数时，可以化成整数。 用分子除以分母。
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2. 化成带分数：
- 当分子不是分母的倍数时，可以化成带分数。用分子除以分母，商作整数部分，余数作分子，分母不变。
九、 带分数化成假分数
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1. 方法：
- 用整数部分乘分母所得的积再加上分子作分子，分母不变。
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2. 表达式：
- a b/c = (a × c + b)/c
十、 分数大小的比较
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1. 同分母分数：
- 分子大的分数就大。
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2. 同分子分数：
- 分母小的分数就大。
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3. 异分母分数：
- 先通分，化成同分母的分数，再比较大小。
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4. 与1比较：
- 真分数小于1，假分数大于或等于1。