《五年级思维导图第五单元》

核心概念：小数乘法和除法

1. 小数乘法

• 意义：
  • 一个数乘小数的意义：求这个数的十分之几、百分之几、千分之几…是多少。
  • 例如： 1.5 × 0.8 的意义是求 1.5 的十分之八是多少。
• 计算法则：
  • 先按照整数乘法的法则算出积。
  • 再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
  • 积的小数位数不够时，在前面用 0 补足。
  • 积的末尾有 0 的，要把 0 去掉。
• 积的变化规律：
  • 一个数（0 除外）乘大于 1 的数，积比原来的数大。
  • 一个数（0 除外）乘小于 1 的数，积比原来的数小。
• 估算：
  • 把小数看作与它相近的整数进行估算。
• 简便运算：
  • 乘法交换律： a × b = b × a
  • 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
  • 乘法分配律： (a + b) × c = a × c + b × c
  • 运用运算定律进行简算，注意观察数字特征。
• 应用：
  • 解决实际问题，例如：求总价、面积、体积等。
  • 注意单位换算，化成统一单位。

2. 小数除法

• 意义：
  • 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
  • 例如： 3.6 ÷ 1.2 的意义是已知两个因数的积是 3.6，其中一个因数是 1.2，求另一个因数。
• 除数是整数的小数除法：
  • 按照整数除法的法则去除。
  • 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
  • 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添 0 再继续除。
• 除数是小数的小数除法：
  • 先移动除数的小数点，使它变成整数。
  • 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用 0 补足）。
  • 然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
• 商的变化规律：
  • 被除数不变，除数扩大，商反而缩小；除数缩小，商反而扩大。
  • 除数不变，被除数扩大，商也扩大；被除数缩小，商也缩小。
• 近似数：
  • 用“四舍五入”法保留一定的小数位数。
  • 根据实际情况选择保留位数，例如：人民币以“分”为单位，通常保留两位小数。
• 循环小数：
  • 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
  • 循环节：循环小数中，依次不断重复出现的数字。
  • 简便写法：在循环节的首位和末位数字上各点一个圆点。
• 有限小数和无限小数：
  • 小数部分的位数是有限的，叫做有限小数。
  • 小数部分的位数是无限的，叫做无限小数。
  • 循环小数是无限小数。
• 用计算器探索规律：
  • 利用计算器进行计算，观察计算结果，总结规律。
• 应用：
  • 解决实际问题，例如：平均数、单价等。

3. 解决问题

• 分段计费问题：
  • 例如：出租车计费、水费、电费等。
  • 分段计算，然后求和。
• 进一法和去尾法：
  • 根据实际情况，选择进一法或去尾法取近似值。
  • 例如：装油需要几个瓶子，需要用进一法；做衣服需要多少布料，需要用去尾法。
• 购物问题：
  • 利用小数乘法和除法，解决购物中的实际问题。
• 行程问题：
  • 速度、时间和路程之间的关系。
  • 注意单位统一。

4. 知识点总结

• 小数乘法的关键： 确定积的小数点位置。
• 小数除法的关键： 将除数转化为整数。
• 近似数的取值方法： 四舍五入、进一法、去尾法。
• 循环小数的表示方法： 循环节上加点。
• 解决问题的关键： 分析题意，找到数量关系，正确列式计算。

5. 易错点分析

• 计算小数乘法时，忘记数清因数的小数位数。
• 计算小数除法时，小数点位置移动错误。
• 商中间有 0 的除法，容易漏掉 0。
• 混淆循环小数和无限不循环小数。
• 在解决问题时，没有认真分析题意，错误选择近似值的方法。
• 单位换算错误。
• 计算错误导致答案不正确。

6. 学习方法建议

• 认真听讲，理解概念和法则。
• 多做练习，熟练掌握计算方法。
• 遇到难题，及时向老师或同学请教。
• 养成良好的学习习惯，例如：认真审题、仔细计算、检查验算。
• 善于总结归纳，形成知识体系。
• 将所学知识应用于实际生活，提高解决问题的能力。
• 利用思维导图等工具，梳理知识点，加深理解。

7. 提升练习

• 完成课本上的练习题。
• 做一些拓展练习，提高解题能力。
• 参加数学竞赛，挑战自我。
• 阅读数学课外书籍，拓宽知识面。
• 小组合作学习，共同进步。

通过本单元的学习，应该能够熟练掌握小数乘法和除法的计算方法，并能够运用所学知识解决实际问题，提高数学思维能力。