几何小实践思维导图

# 《几何小实践思维导图》 ## 一、基础概念 ### 1. 点、线、面： * **点：** * 无大小，只有位置 * 几何图形的基本组成单元 * 用大写字母表示 (A, B, C) * 应用场景：定位，坐标系原点 * **线：** * 直线：无限延伸，无端点 * 两点确定一条直线 * 直线公理：两点之间，直线最短 * 表示：直线AB 或 直线 l * 射线：只有一个端点，向一端无限延伸 * 表示：射线AB (端点字母在前) * 线段：有两个端点，长度可测量 * 两点之间线段最短 * 表示：线段AB 或 线段BA * 应用场景：测量距离，分割图形 * **面：** * 平面：无限延伸，无厚度 * 表示：平面α, 平面β * 曲面：弯曲的面，如球面、柱面 * 应用场景：地图，建筑设计 ### 2. 角： * **定义：** * 两条有公共端点的射线组成的图形 * 公共端点是角的顶点，两条射线是角的边 * **分类：** * 锐角：0° < 角 < 90° * 直角：角 = 90° * 钝角：90° < 角 < 180° * 平角：角 = 180° (一条直线) * 周角：角 = 360° * 余角：两角之和等于 90° * 补角：两角之和等于 180° * **角的度量：** * 度、分、秒：1° = 60', 1' = 60'' * 角平分线：将角分成两个相等的角的射线 * 应用场景：导航，测量角度 ## 二、平面图形 ### 1. 三角形： * **定义：** * 由三条线段首尾顺次相连组成的封闭图形 * 内角和等于 180° * 任何两边之和大于第三边 * **分类：** * 按角分： * 锐角三角形：三个角都是锐角 * 直角三角形：有一个角是直角 * 勾股定理：a² + b² = c² (a, b 为直角边，c 为斜边) * 斜边上的中线等于斜边的一半 * 钝角三角形：有一个角是钝角 * 按边分： * 等腰三角形：有两条边相等 * 两底角相等 * 顶角的角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（三线合一） * 等边三角形：三条边都相等 * 三个角都等于 60° * **重要线段：** * 高：从顶点到对边的垂线段 * 中线：连接顶点和对边中点的线段 * 角平分线：角的顶点到对边的平分线的线段 * **面积公式：** * S = (1/2) * 底 * 高 * 海伦公式：S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中 p = (a+b+c)/2 * **应用场景：** * 建筑结构，稳定性 ### 2. 四边形： * **定义：** * 由四条线段首尾顺次相连组成的封闭图形 * 内角和等于 360° * **特殊四边形：** * 平行四边形：两组对边分别平行 * 对边相等，对角相等 * 对角线互相平分 * 矩形：有一个角是直角的平行四边形 * 四个角都是直角 * 对角线相等且互相平分 * 菱形：有一组邻边相等的平行四边形 * 四条边都相等 * 对角线互相垂直平分 * 正方形：四个角都是直角，四条边都相等的四边形 * 兼具矩形和菱形的性质 * 梯形：只有一组对边平行的四边形 * 等腰梯形：两腰相等 * 直角梯形：有一个角是直角 * **面积公式：** * 平行四边形：S = 底 * 高 * 矩形：S = 长 * 宽 * 菱形：S = (1/2) * 对角线1 * 对角线2 * 正方形：S = 边长² * 梯形：S = (1/2) * (上底 + 下底) * 高 * **应用场景：** * 地板铺设，框架结构 ### 3. 圆： * **定义：** * 平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合 * 定点是圆心，定长是半径 * **要素：** * 圆心：圆的中心点，用O表示 * 半径：圆心到圆上任意一点的距离，用r表示 * 直径：经过圆心且两端都在圆上的线段，用d表示，d = 2r * 弧：圆上任意两点之间的部分 * 优弧：大于半圆的弧 * 劣弧：小于半圆的弧 * 弦：连接圆上任意两点的线段 * 经过圆心的弦是直径 * 圆心角：顶点在圆心的角 * 圆周角：顶点在圆上的角，两条边是弦 * **重要性质：** * 圆心角所对的弧的长度，正比于圆心角的度数 * 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 * 直径所对的圆周角是直角 * **周长和面积：** * 周长：C = 2πr = πd * 面积：S = πr² * **应用场景：** * 车轮设计，钟表 ## 三、立体图形 ### 1. 棱柱： * **定义：** * 有两个互相平行的面（底面）且其余各面（侧面）都是平行四边形的几何体 * **分类：** * 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 * 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 * 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 * **要素：** * 底面：两个互相平行的面 * 侧面：除底面以外的各个面 * 侧棱：侧面相交的线 * 高：两个底面之间的距离 * **表面积和体积：** * 表面积：S = 2 * 底面积 + 侧面积 * 体积：V = 底面积 * 高 * **应用场景：** * 柱状建筑物，包装盒 ### 2. 圆柱： * **定义：** * 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体 * **要素：** * 底面：两个相等的圆 * 侧面：展开是一个矩形 * 高：两个底面之间的距离 * **表面积和体积：** * 表面积：S = 2πr² + 2πrh (r 为底面半径，h 为高) * 体积：V = πr²h * **应用场景：** * 水杯，罐头 ### 3. 棱锥： * **定义：** * 底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的几何体 * **分类：** * 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的投影是底面中心 * **要素：** * 底面：多边形 * 侧面：三角形 * 侧棱：侧面相交的线 * 高：顶点到底面的距离 * **体积：** * V = (1/3) * 底面积 * 高 * **应用场景：** * 金字塔，屋顶 ### 4. 圆锥： * **定义：** * 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体 * **要素：** * 底面：一个圆 * 侧面：展开是一个扇形 * 母线：连接顶点和底面圆上的任意一点的线段 * 高：顶点到底面的距离 * **表面积和体积：** * 表面积：S = πr² + πrl (r 为底面半径，l 为母线长) * 体积：V = (1/3)πr²h * **应用场景：** * 冰淇淋蛋筒，漏斗 ### 5. 球： * **定义：** * 空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合 * **要素：** * 球心：定点 * 半径：定长 * **表面积和体积：** * 表面积：S = 4πr² * 体积：V = (4/3)πr³ * **应用场景：** * 篮球，地球仪 ## 四、几何变换 ### 1. 平移： * 将图形上的所有点沿着同一个方向移动相同的距离。 ### 2. 旋转： * 将图形绕着一个定点旋转一个角度。 ### 3. 轴对称： * 将图形沿着一条直线翻折，使得两部分完全重合。 ### 4. 中心对称： * 将图形绕着一个定点旋转180度，使得图形与自身重合。 ### 5. 位似： * 将图形放大或缩小，形状不变。

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