《几何小实践思维导图》

一、基础概念

1. 点、线、面：

• 点：

  • 无大小，只有位置
  • 几何图形的基本组成单元
  • 用大写字母表示 (A, B, C)
  • 应用场景：定位，坐标系原点

• 线：

  • 直线：无限延伸，无端点
    • 两点确定一条直线
    • 直线公理：两点之间，直线最短
    • 表示：直线AB 或 直线 l
  • 射线：只有一个端点，向一端无限延伸
    • 表示：射线AB (端点字母在前)
  • 线段：有两个端点，长度可测量
    • 两点之间线段最短
    • 表示：线段AB 或 线段BA
    • 应用场景：测量距离，分割图形

• 面：

  • 平面：无限延伸，无厚度
    • 表示：平面α, 平面β
  • 曲面：弯曲的面，如球面、柱面
  • 应用场景：地图，建筑设计

2. 角：

• 定义：

  • 两条有公共端点的射线组成的图形
  • 公共端点是角的顶点，两条射线是角的边

• 分类：

  • 锐角：0° < 角 < 90°
  • 直角：角 = 90°
  • 钝角：90° < 角 < 180°
  • 平角：角 = 180° (一条直线)
  • 周角：角 = 360°
  • 余角：两角之和等于 90°
  • 补角：两角之和等于 180°

• 角的度量：

  • 度、分、秒：1° = 60', 1' = 60''
  • 角平分线：将角分成两个相等的角的射线
  • 应用场景：导航，测量角度

二、平面图形

1. 三角形：

• 定义：

  • 由三条线段首尾顺次相连组成的封闭图形
  • 内角和等于 180°
  • 任何两边之和大于第三边

• 分类：

  • 按角分：
    • 锐角三角形：三个角都是锐角
    • 直角三角形：有一个角是直角
      • 勾股定理：a² + b² = c² (a, b 为直角边，c 为斜边)
      • 斜边上的中线等于斜边的一半
    • 钝角三角形：有一个角是钝角
  • 按边分：
    • 等腰三角形：有两条边相等
      • 两底角相等
      • 顶角的角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（三线合一）
    • 等边三角形：三条边都相等
      • 三个角都等于 60°

• 重要线段：

  • 高：从顶点到对边的垂线段
  • 中线：连接顶点和对边中点的线段
  • 角平分线：角的顶点到对边的平分线的线段

• 面积公式：

  • S = (1/2) 底 高
  • 海伦公式：S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中 p = (a+b+c)/2

• 应用场景：

  • 建筑结构，稳定性

2. 四边形：

• 定义：

  • 由四条线段首尾顺次相连组成的封闭图形
  • 内角和等于 360°

• 特殊四边形：

  • 平行四边形：两组对边分别平行
    • 对边相等，对角相等
    • 对角线互相平分
  • 矩形：有一个角是直角的平行四边形
    • 四个角都是直角
    • 对角线相等且互相平分
  • 菱形：有一组邻边相等的平行四边形
    • 四条边都相等
    • 对角线互相垂直平分
  • 正方形：四个角都是直角，四条边都相等的四边形
    • 兼具矩形和菱形的性质
  • 梯形：只有一组对边平行的四边形
    • 等腰梯形：两腰相等
    • 直角梯形：有一个角是直角

• 面积公式：

  • 平行四边形：S = 底 * 高
  • 矩形：S = 长 * 宽
  • 菱形：S = (1/2) 对角线1 对角线2
  • 正方形：S = 边长²
  • 梯形：S = (1/2) (上底 + 下底) 高

• 应用场景：

  • 地板铺设，框架结构

3. 圆：

• 定义：

  • 平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合
  • 定点是圆心，定长是半径

• 要素：

  • 圆心：圆的中心点，用O表示
  • 半径：圆心到圆上任意一点的距离，用r表示
  • 直径：经过圆心且两端都在圆上的线段，用d表示，d = 2r
  • 弧：圆上任意两点之间的部分
    • 优弧：大于半圆的弧
    • 劣弧：小于半圆的弧
  • 弦：连接圆上任意两点的线段
    • 经过圆心的弦是直径
  • 圆心角：顶点在圆心的角
  • 圆周角：顶点在圆上的角，两条边是弦

• 重要性质：

  • 圆心角所对的弧的长度，正比于圆心角的度数
  • 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半
  • 直径所对的圆周角是直角

• 周长和面积：

  • 周长：C = 2πr = πd
  • 面积：S = πr²

• 应用场景：

  • 车轮设计，钟表

三、立体图形

1. 棱柱：

• 定义：

  • 有两个互相平行的面（底面）且其余各面（侧面）都是平行四边形的几何体

• 分类：

  • 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
  • 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱
  • 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱

• 要素：

  • 底面：两个互相平行的面
  • 侧面：除底面以外的各个面
  • 侧棱：侧面相交的线
  • 高：两个底面之间的距离

• 表面积和体积：

  • 表面积：S = 2 * 底面积 + 侧面积
  • 体积：V = 底面积 * 高

• 应用场景：

  • 柱状建筑物，包装盒

2. 圆柱：

• 定义：

  • 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体

• 要素：

  • 底面：两个相等的圆
  • 侧面：展开是一个矩形
  • 高：两个底面之间的距离

• 表面积和体积：

  • 表面积：S = 2πr² + 2πrh (r 为底面半径，h 为高)
  • 体积：V = πr²h

• 应用场景：

  • 水杯，罐头

3. 棱锥：

• 定义：

  • 底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的几何体

• 分类：

  • 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的投影是底面中心

• 要素：

  • 底面：多边形
  • 侧面：三角形
  • 侧棱：侧面相交的线
  • 高：顶点到底面的距离

• 体积：

  • V = (1/3) 底面积 高

• 应用场景：

  • 金字塔，屋顶

4. 圆锥：

• 定义：

  • 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体

• 要素：

  • 底面：一个圆
  • 侧面：展开是一个扇形
  • 母线：连接顶点和底面圆上的任意一点的线段
  • 高：顶点到底面的距离

• 表面积和体积：

  • 表面积：S = πr² + πrl (r 为底面半径，l 为母线长)
  • 体积：V = (1/3)πr²h

• 应用场景：

  • 冰淇淋蛋筒，漏斗

5. 球：

• 定义：

  • 空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合

• 要素：

  • 球心：定点
  • 半径：定长

• 表面积和体积：

  • 表面积：S = 4πr²
  • 体积：V = (4/3)πr³

• 应用场景：

  • 篮球，地球仪

四、几何变换

1. 平移：

• 将图形上的所有点沿着同一个方向移动相同的距离。

2. 旋转：

• 将图形绕着一个定点旋转一个角度。

3. 轴对称：

• 将图形沿着一条直线翻折，使得两部分完全重合。

4. 中心对称：

• 将图形绕着一个定点旋转180度，使得图形与自身重合。

5. 位似：

• 将图形放大或缩小，形状不变。

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