《数与代数思维导图五上》

一、数的认识

1.1 自然数、整数、小数

• 自然数：
  • 定义：表示物体个数的数，0, 1, 2, 3...
  • 特性：最小的自然数是0，没有最大的自然数
  • 应用：计数、排序
• 整数：
  • 定义：包括正整数、0和负整数，...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...
  • 数轴表示：可以表示正方向和负方向
  • 应用：表示温度、海拔高度、盈亏等
• 小数：
  • 定义：由整数部分、小数点和小数部分组成
  • 分类：
    • 有限小数：小数部分位数有限
    • 无限小数：小数部分位数无限
      • 循环小数：从小数部分某一位起，一个或几个数字依次重复出现
        • 纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始
        • 混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始
    • 无限不循环小数：小数部分位数无限且不循环
  • 小数的意义：表示十分之几、百分之几、千分之几...
  • 小数的读写：注意小数点的位置和读法
  • 小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变
  • 小数的比较大小：先比较整数部分，整数部分相同再比较十分位，依次类推
  • 小数的近似数：用“四舍五入”法取近似数，保留几位小数表示精确到哪一位

1.2 因数与倍数

• 因数和倍数的概念：
  • 如果a×b=c（a、b、c都是非0自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数
  • 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身
  • 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数
• 2、5、3的倍数特征：
  • 2的倍数：个位是0、2、4、6、8的数
  • 5的倍数：个位是0或5的数
  • 3的倍数：各数位上的数字之和是3的倍数
• 质数和合数：
  • 质数：只有1和它本身两个因数的数
  • 合数：除了1和它本身还有其他因数的数
  • 1既不是质数也不是合数
  • 最小的质数是2，最小的合数是4
• 分解质因数：
  • 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来
  • 常用方法：短除法
• 最大公因数：
  • 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数
  • 求法：
    • 列举法
    • 短除法：除到互质为止，所有除数的乘积是最大公因数
• 最小公倍数：
  • 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数
  • 求法：
    • 列举法
    • 短除法：除到互质为止，所有除数和商的乘积是最小公倍数
• 互质数：
  • 公因数只有1的两个数叫做互质数
  • 两个都是质数的数一定是互质数
  • 相邻的两个自然数一定是互质数
  • 1和任何数都是互质数

二、数的运算

2.1 小数乘法

• 小数乘法的意义：
  • 求几个相同加数的和的简便运算
  • 求一个数的几分之几是多少
• 小数乘法的计算法则：
  • 先按照整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点
  • 注意：积的小数位数不够时，用“0”补足
• 积的近似数：
  • 用“四舍五入”法取近似数
• 乘法运算定律的推广：
  • 乘法交换律：a×b=b×a
  • 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)
  • 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c

2.2 小数除法

• 小数除法的意义：
  • 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算
• 小数除法的计算法则：
  • 除数是整数的小数除法：按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。如果除到末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除
  • 除数是小数的小数除法：先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算
• 商的近似数：
  • 用“四舍五入”法取近似数
• 循环小数：
  • 从小数部分某一位起，一个或几个数字依次重复出现的小数
  • 循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字
  • 简便写法：只写一个循环节，并在循环节的首位和末位上面各记一个圆点。
• 用计算器探索规律：
  • 发现算式之间的规律，并进行推广
• 解决问题：
  • 根据实际情况，选择合适的方法解决问题，例如“去尾法”和“进一法”

三、简易方程

3.1 用字母表示数

• 字母表示数的意义：
  • 简明地表达数量关系、运算定律和计算公式
• 字母与字母之间的乘号可以省略不写，数与字母相乘，省略乘号时，要把数写在字母的前面。
• 相同字母相乘，可以简写成平方的形式。
• 用字母表示运算定律：
  • 加法交换律：a+b=b+a
  • 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
  • 乘法交换律：a×b=b×a
  • 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)
  • 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c
• 用字母表示计算公式：
  • 正方形周长：C=4a
  • 正方形面积：S=a²
  • 长方形周长：C=2(a+b)
  • 长方形面积：S=ab

3.2 方程的意义

• 方程的定义：
  • 含有未知数的等式叫做方程
• 方程和等式的关系：
  • 所有的方程都是等式，但等式不一定是方程
• 解方程：
  • 求方程的解的过程叫做解方程
• 方程的解：
  • 使方程左右两边相等的未知数的值
• 等式的性质：
  • 等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等
  • 等式两边同时乘或除以同一个非零的数，左右两边仍然相等
• 解方程的方法：
  • 根据等式的性质进行变形

3.3 列方程解决问题

• 解题步骤：
  • (1) 弄清题意，找出未知数，用x表示
  • (2) 分析题中的数量关系，找出等量关系，列出方程
  • (3) 解方程
  • (4) 检验，写答

四、多边形的面积（为后续几何学习做铺垫）

• 平行四边形面积：S=ah
• 三角形面积：S=1/2 ah
• 梯形面积：S=1/2 (a+b)h