除法思维导图

# 《除法思维导图》

## 一、除法的定义与概念

*   **定义：** 除法是已知两个因数的积与其中一个非零因数，求另一个因数的运算。是乘法的逆运算。
*   **符号：** ÷ (除号)
*   **组成部分：**
    *   **被除数：** 被除的对象，表示需要分割的总量。
    *   **除数：** 表示分割成多少份，或每次分割的数量。除数不能为0。
    *   **商：**  分割的结果，表示每份的数量，或分割的次数。
    *   **余数：**  如果不能整除，剩余的量。余数必须小于除数。
*   **关系式：** 被除数 ÷ 除数 = 商 ... 余数  (当余数为0时， 被除数 ÷ 除数 = 商)
*   **意义：**
    *   **等分：**  将一个数量平均分成若干份，求每份是多少。
    *   **包含除：** 已知总数量和每份的数量，求可以分成多少份。

## 二、除法的类型

*   **按除数的分类：**
    *   **整数除法：** 除数和被除数都是整数。
    *   **小数除法：** 除数和被除数至少有一个是小数。
    *   **分数除法：** 除数和被除数都是分数。
*   **按商的分类：**
    *   **整除：** 被除数能被除数整除，没有余数。
    *   **除不尽：** 被除数不能被除数整除，有余数。
        *   **有限小数：** 小数部分位数有限。
        *   **无限小数：** 小数部分位数无限。
            *   **无限循环小数：** 小数部分有循环节。
            *   **无限不循环小数：** 小数部分没有循环节（如圆周率π）。
*   **按运算难度分类：**
    *   **表内除法：** 使用乘法口诀直接计算的除法（除数和商都是一位数）。
    *   **多位数除法：** 除数或被除数是多位数的除法。

## 三、除法的计算方法

*   **表内除法：**
    *   **口诀法：**  直接使用乘法口诀求商。  例： 24 ÷ 6 = 4  (因为四六二十四)
*   **多位数除法（竖式计算）：**
    *   **基本步骤：**
        1.  **确定商的位置：**  根据除数的位数，确定商写在哪一位上。
        2.  **试商：**  用除数去除被除数的前几位，看够除。如果不够，就多看一位。
        3.  **求商：**  确定商是多少。  通常用估算或者口算的方法。
        4.  **乘：**  用商乘以除数。
        5.  **减：**  用被除数减去商与除数的积。
        6.  **查：**  检查余数是否小于除数。
        7.  **落：**  把被除数下一位落下来，和余数合在一起，继续除。
    *   **特殊情况：**
        *   **除数是整十数、整百数：** 简化计算，将被除数和除数末尾的0同时去掉相同个数。
        *   **商中间或末尾有0：** 当被除数不够商1时，商0占位。
*   **小数除法：**
    *   **除数是整数的小数除法：**  按照整数除法的方法计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐。
    *   **除数是小数的小数除法：**
        1.  **转化：** 将除数变成整数（通过小数点移动，扩大到相应的倍数）。
        2.  **移动：** 同时将被除数的小数点向右移动相同的位数。
        3.  **计算：**  按照除数是整数的小数除法计算。
*   **分数除法：**
    *   **除以一个数，等于乘以这个数的倒数。** 将除法转化为乘法进行计算。
    *   **计算步骤：**
        1.  **找倒数：**  找到除数的倒数。
        2.  **转化：** 将除法符号变为乘法符号。
        3.  **计算：**  按照分数乘法的法则进行计算（分子乘分子，分母乘分母）。

## 四、除法的性质

*   **商不变性质：** 被除数和除数同时乘以或除以相同的数（0除外），商不变。
    *   **(a × c) ÷ (b × c) = a ÷ b   (c ≠ 0)**
    *   **(a ÷ c) ÷ (b ÷ c) = a ÷ b   (c ≠ 0)**
*   **除法分配律：** 当被除数是两个数的和或差时，可以用除数分别去除这两个数，然后再把商相加或相减。（注意：除数必须相同，且不能是两个数都除以同一个数）
    *   **(a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c   (c ≠ 0)**
    *   **(a - b) ÷ c = a ÷ c - b ÷ c   (c ≠ 0)**

## 五、除法的应用

*   **解决实际问题：**
    *   **平均分问题：** 例：把一些物品平均分给几个人，求每人分得多少。
    *   **归一问题：** 先求出“单一量”，再求出总数量。
    *   **归总问题：** 先求出总数量，再求出“单一量”。
    *   **连除问题：**  用两个或多个除法步骤解决问题。
*   **与其他运算结合：**  在混合运算中，除法具有一定的优先级，通常与乘法同级，先乘除后加减，有括号先算括号内的。
*   **估算：** 在实际生活中，可以使用估算来快速判断结果的大致范围。 例如，  489 ÷ 52  可以估算为 500 ÷ 50 = 10。

## 六、易错点

*   **除数为0：** 除数不能为0，否则除法没有意义。
*   **余数与除数的关系：**  余数必须小于除数。
*   **小数除法小数点的移动：** 除数扩大多少倍，被除数也要扩大相同的倍数。
*   **商中间或末尾的0：** 当被除数不够商1时，要用0占位。
*   **混淆除法的两种意义：** 区分“等分”和“包含除”的不同应用场景。

## 七、学习方法

*   **熟练掌握乘法口诀：** 这是学习除法的基础。
*   **多练习竖式计算：**  提高计算的准确性和速度。
*   **理解除法的意义：**  结合实际问题，加深对除法概念的理解。
*   **总结易错点：**  及时纠正错误，避免重复犯错。
*   **灵活运用性质：**  简化计算，提高解题效率。

# 《除法思维导图》 ## 一、除法的定义与概念 * **定义：** 除法是已知两个因数的积与其中一个非零因数，求另一个因数的运算。是乘法的逆运算。 * **符号：** ÷ (除号) * **组成部分：** * **被除数：** 被除的对象，表示需要分割的总量。 * **除数：** 表示分割成多少份，或每次分割的数量。除数不能为0。 * **商：** 分割的结果，表示每份的数量，或分割的次数。 * **余数：** 如果不能整除，剩余的量。余数必须小于除数。 * **关系式：** 被除数 ÷ 除数 = 商 ... 余数 (当余数为0时，被除数 ÷ 除数 = 商) * **意义：** * **等分：** 将一个数量平均分成若干份，求每份是多少。 * **包含除：** 已知总数量和每份的数量，求可以分成多少份。 ## 二、除法的类型 * **按除数的分类：** * **整数除法：** 除数和被除数都是整数。 * **小数除法：** 除数和被除数至少有一个是小数。 * **分数除法：** 除数和被除数都是分数。 * **按商的分类：** * **整除：** 被除数能被除数整除，没有余数。 * **除不尽：** 被除数不能被除数整除，有余数。 * **有限小数：** 小数部分位数有限。 * **无限小数：** 小数部分位数无限。 * **无限循环小数：** 小数部分有循环节。 * **无限不循环小数：** 小数部分没有循环节（如圆周率π）。 * **按运算难度分类：** * **表内除法：** 使用乘法口诀直接计算的除法（除数和商都是一位数）。 * **多位数除法：** 除数或被除数是多位数的除法。 ## 三、除法的计算方法 * **表内除法：** * **口诀法：** 直接使用乘法口诀求商。例： 24 ÷ 6 = 4 (因为四六二十四) * **多位数除法（竖式计算）：** * **基本步骤：** 1. **确定商的位置：** 根据除数的位数，确定商写在哪一位上。 2. **试商：** 用除数去除被除数的前几位，看够除。如果不够，就多看一位。 3. **求商：** 确定商是多少。通常用估算或者口算的方法。 4. **乘：** 用商乘以除数。 5. **减：** 用被除数减去商与除数的积。 6. **查：** 检查余数是否小于除数。 7. **落：** 把被除数下一位落下来，和余数合在一起，继续除。 * **特殊情况：** * **除数是整十数、整百数：** 简化计算，将被除数和除数末尾的0同时去掉相同个数。 * **商中间或末尾有0：** 当被除数不够商1时，商0占位。 * **小数除法：** * **除数是整数的小数除法：** 按照整数除法的方法计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐。 * **除数是小数的小数除法：** 1. **转化：** 将除数变成整数（通过小数点移动，扩大到相应的倍数）。 2. **移动：** 同时将被除数的小数点向右移动相同的位数。 3. **计算：** 按照除数是整数的小数除法计算。 * **分数除法：** * **除以一个数，等于乘以这个数的倒数。** 将除法转化为乘法进行计算。 * **计算步骤：** 1. **找倒数：** 找到除数的倒数。 2. **转化：** 将除法符号变为乘法符号。 3. **计算：** 按照分数乘法的法则进行计算（分子乘分子，分母乘分母）。 ## 四、除法的性质 * **商不变性质：** 被除数和除数同时乘以或除以相同的数（0除外），商不变。 * **(a × c) ÷ (b × c) = a ÷ b (c ≠ 0)** * **(a ÷ c) ÷ (b ÷ c) = a ÷ b (c ≠ 0)** * **除法分配律：** 当被除数是两个数的和或差时，可以用除数分别去除这两个数，然后再把商相加或相减。（注意：除数必须相同，且不能是两个数都除以同一个数） * **(a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c (c ≠ 0)** * **(a - b) ÷ c = a ÷ c - b ÷ c (c ≠ 0)** ## 五、除法的应用 * **解决实际问题：** * **平均分问题：** 例：把一些物品平均分给几个人，求每人分得多少。 * **归一问题：** 先求出“单一量”，再求出总数量。 * **归总问题：** 先求出总数量，再求出“单一量”。 * **连除问题：** 用两个或多个除法步骤解决问题。 * **与其他运算结合：** 在混合运算中，除法具有一定的优先级，通常与乘法同级，先乘除后加减，有括号先算括号内的。 * **估算：** 在实际生活中，可以使用估算来快速判断结果的大致范围。例如， 489 ÷ 52 可以估算为 500 ÷ 50 = 10。 ## 六、易错点 * **除数为0：** 除数不能为0，否则除法没有意义。 * **余数与除数的关系：** 余数必须小于除数。 * **小数除法小数点的移动：** 除数扩大多少倍，被除数也要扩大相同的倍数。 * **商中间或末尾的0：** 当被除数不够商1时，要用0占位。 * **混淆除法的两种意义：** 区分“等分”和“包含除”的不同应用场景。 ## 七、学习方法 * **熟练掌握乘法口诀：** 这是学习除法的基础。 * **多练习竖式计算：** 提高计算的准确性和速度。 * **理解除法的意义：** 结合实际问题，加深对除法概念的理解。 * **总结易错点：** 及时纠正错误，避免重复犯错。 * **灵活运用性质：** 简化计算，提高解题效率。

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