除法思维导图
《除法思维导图》
一、除法的定义与概念
- 定义： 除法是已知两个因数的积与其中一个非零因数，求另一个因数的运算。是乘法的逆运算。
- 符号： ÷ (除号)
- 组成部分：
- 被除数： 被除的对象，表示需要分割的总量。
- 除数： 表示分割成多少份，或每次分割的数量。除数不能为0。
- 商： 分割的结果，表示每份的数量，或分割的次数。
- 余数： 如果不能整除，剩余的量。余数必须小于除数。
- 关系式： 被除数 ÷ 除数 = 商 ... 余数 (当余数为0时， 被除数 ÷ 除数 = 商)
- 意义：
- 等分： 将一个数量平均分成若干份，求每份是多少。
- 包含除： 已知总数量和每份的数量，求可以分成多少份。
二、除法的类型
- 按除数的分类：
- 整数除法： 除数和被除数都是整数。
- 小数除法： 除数和被除数至少有一个是小数。
- 分数除法： 除数和被除数都是分数。
- 按商的分类：
- 整除： 被除数能被除数整除，没有余数。
- 除不尽： 被除数不能被除数整除，有余数。
- 有限小数： 小数部分位数有限。
- 无限小数： 小数部分位数无限。
- 无限循环小数： 小数部分有循环节。
- 无限不循环小数： 小数部分没有循环节（如圆周率π）。
- 按运算难度分类：
- 表内除法： 使用乘法口诀直接计算的除法（除数和商都是一位数）。
- 多位数除法： 除数或被除数是多位数的除法。
三、除法的计算方法
- 表内除法：
- 口诀法： 直接使用乘法口诀求商。 例： 24 ÷ 6 = 4 (因为四六二十四)
- 多位数除法（竖式计算）：
- 基本步骤：
- 确定商的位置： 根据除数的位数，确定商写在哪一位上。
- 试商： 用除数去除被除数的前几位，看够除。如果不够，就多看一位。
- 求商： 确定商是多少。 通常用估算或者口算的方法。
- 乘： 用商乘以除数。
- 减： 用被除数减去商与除数的积。
- 查： 检查余数是否小于除数。
- 落： 把被除数下一位落下来，和余数合在一起，继续除。
- 特殊情况：
- 除数是整十数、整百数： 简化计算，将被除数和除数末尾的0同时去掉相同个数。
- 商中间或末尾有0： 当被除数不够商1时，商0占位。
- 小数除法：
- 除数是整数的小数除法： 按照整数除法的方法计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐。
- 除数是小数的小数除法：
- 转化： 将除数变成整数（通过小数点移动，扩大到相应的倍数）。
- 移动： 同时将被除数的小数点向右移动相同的位数。
- 计算： 按照除数是整数的小数除法计算。
- 分数除法：
- 除以一个数，等于乘以这个数的倒数。 将除法转化为乘法进行计算。
- 计算步骤：
- 找倒数： 找到除数的倒数。
- 转化： 将除法符号变为乘法符号。
- 计算： 按照分数乘法的法则进行计算（分子乘分子，分母乘分母）。
四、除法的性质
- 商不变性质： 被除数和除数同时乘以或除以相同的数（0除外），商不变。
- (a × c) ÷ (b × c) = a ÷ b (c ≠ 0)
- (a ÷ c) ÷ (b ÷ c) = a ÷ b (c ≠ 0)
- 除法分配律： 当被除数是两个数的和或差时，可以用除数分别去除这两个数，然后再把商相加或相减。（注意：除数必须相同，且不能是两个数都除以同一个数）
- (a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c (c ≠ 0)
- (a - b) ÷ c = a ÷ c - b ÷ c (c ≠ 0)
五、除法的应用
- 解决实际问题：
- 平均分问题： 例：把一些物品平均分给几个人，求每人分得多少。
- 归一问题： 先求出“单一量”，再求出总数量。
- 归总问题： 先求出总数量，再求出“单一量”。
- 连除问题： 用两个或多个除法步骤解决问题。
- 与其他运算结合： 在混合运算中，除法具有一定的优先级，通常与乘法同级，先乘除后加减，有括号先算括号内的。
- 估算： 在实际生活中，可以使用估算来快速判断结果的大致范围。 例如， 489 ÷ 52 可以估算为 500 ÷ 50 = 10。
六、易错点
- 除数为0： 除数不能为0，否则除法没有意义。
- 余数与除数的关系： 余数必须小于除数。
- 小数除法小数点的移动： 除数扩大多少倍，被除数也要扩大相同的倍数。
- 商中间或末尾的0： 当被除数不够商1时，要用0占位。
- 混淆除法的两种意义： 区分“等分”和“包含除”的不同应用场景。
七、学习方法
- 熟练掌握乘法口诀： 这是学习除法的基础。
- 多练习竖式计算： 提高计算的准确性和速度。
- 理解除法的意义： 结合实际问题，加深对除法概念的理解。
- 总结易错点： 及时纠正错误，避免重复犯错。
- 灵活运用性质： 简化计算，提高解题效率。
