五上数与代数思维导图

# 《五上数与代数思维导图》

## 一、小数乘法

### 1.1 小数乘整数

*   **意义：** 与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。
*   **计算方法：**
    *   先把小数扩大成整数。
    *   按整数乘法计算。
    *   看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
*   **注意点：**
    *   积的小数位数不够时，要在前面用0补足。
    *   积的小数部分末尾有0时，要把0去掉，化简。

### 1.2 小数乘小数

*   **意义：** 求一个数的几分之几是多少。
*   **计算方法：**
    *   先把小数扩大成整数。
    *   按整数乘法计算。
    *   看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
*   **注意点：**
    *   小数乘小数，积不一定比因数大，例如：0.5×0.8=0.4，0.4 < 0.5, 0.4 < 0.8。
    *   注意末尾的“0”要划掉。
    *   位数不够，需要用“0”占位。

### 1.3 积的近似数

*   **方法：** 先算出准确值，再按要求用“四舍五入”法取近似值。
*   **精确度：** 精确到十分位，表示保留一位小数；精确到百分位，表示保留两位小数；精确到千分位，表示保留三位小数。
*   **注意点：** 保留近似值时，小数末尾的“0”不能去掉。

### 1.4 连乘、乘加、乘减

*   **运算顺序：** 与整数的运算顺序相同。先乘除，后加减，有括号的先算括号里面的。
*   **简便计算：** 乘法运算定律同样适用于小数。
    *   乘法交换律：a×b=b×a
    *   乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)
    *   乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c
*   **解题思路：** 分析数量关系，列综合算式。

## 二、小数除法

### 2.1 除数是整数的小数除法

*   **计算方法：**
    *   按照整数除法的方法去除。
    *   商的小数点要和被除数的小数点对齐。
    *   如果除到末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。
*   **注意点：** 被除数的整数部分不够除，商0，点上小数点。

### 2.2 除数是小数的小数除法

*   **计算方法：**
    *   先把除数扩大成整数。
    *   被除数也同时扩大相同的倍数（位数不够时，用0补足）。
    *   按照除数是整数的小数除法的方法进行计算。
*   **注意点：** 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位，位数不够时，用0补足。

### 2.3 商的近似数

*   **方法：** 根据需要保留的位数，计算时多除一位，然后按照“四舍五入”法取近似值。
*   **应用：**解决实际问题时，根据实际情况取商的近似值，如“进一法”和“去尾法”。
    *   “进一法”：即使余数很小，也要向前一位进1。适用于需要满足数量要求的实际问题，例如：装东西需要几个箱子。
    *   “去尾法”：即使余数很大，也要舍去。适用于需要保证质量要求的实际问题，例如：做衣服需要多少布料。

### 2.4 循环小数

*   **定义：** 一个数的小数部分，从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
*   **循环节：** 循环小数中依次不断重复出现的数字叫做循环节。
*   **简便写法：** 循环小数的简便写法是在第一个循环节的首位和末位上面各记一个小圆点。也可以写出两个或三个循环节，然后加上省略号。
*   **有限小数：** 小数的位数是有限的。
*   **无限小数：** 小数的位数是无限的。无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数。
*   **区别：** 循环小数一定是无限小数，但无限小数不一定是循环小数。

### 2.5 用计算器探索规律

*   **步骤：** 用计算器计算，观察结果，寻找规律，应用规律解决问题。

## 三、简易方程

### 3.1 用字母表示数

*   **意义：** 可以简明地表达数量关系、运算定律和计算公式。
*   **写法：**
    *   字母与数字相乘，可以省略乘号，数字在前，字母在后。
    *   当数字是1时，1可以省略，但字母不能省略。
    *   加法、减法、除法不能省略运算符号。
*   **应用：**
    *   表达数量关系。
    *   表达计算公式。
    *   表达运算定律。

### 3.2 方程的意义

*   **定义：** 含有未知数的等式，叫做方程。
*   **等式：** 表示相等关系的式子。
*   **关键点：** 必须是等式，必须含有未知数。
*   **方程一定是等式，但等式不一定是方程。**

### 3.3 等式的性质

*   **性质一：** 等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
*   **性质二：** 等式两边同时乘或除以同一个非零的数，所得结果仍然是等式。

### 3.4 解方程

*   **定义：** 求方程的解的过程叫做解方程。
*   **方程的解：** 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
*   **方法：**
    *   利用等式的性质，把方程转化成x=a的形式。
    *   注意检验。

### 3.5 列方程解决问题

*   **步骤：**
    *   1. 弄清题意，找出未知数，并用x表示。
    *   2. 找出等量关系，列出方程。
    *   3. 解方程。
    *   4. 检验，写答。
*   **关键：** 找到等量关系。
*   **类型：**
    *   和倍问题：设较小量为x，则较大量为ax，和为x+ax=b。
    *   差倍问题：设较小量为x，则较大量为ax，差为ax-x=b。
    *   一般应用题：根据题意找到等量关系列方程。
*   **检验方法：**
    *   代入方程检验：看求出的未知数的值是否是方程的解。
    *   代入原题检验：看求出的未知数的值是否符合题意。

### 3.6 实际应用

*   **行程问题：** 速度×时间=路程
*   **工程问题：** 工作效率×工作时间=工作总量
*   **购物问题：** 单价×数量=总价

## 四、多边形的面积

### 4.1 平行四边形的面积

*   **公式：** 面积=底×高  （S=ah）
*   **推导：** 通过剪拼，将平行四边形转化为长方形，长方形的面积等于平行四边形的面积，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。

### 4.2 三角形的面积

*   **公式：** 面积=底×高÷2  （S=ah÷2）
*   **推导：** 两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的面积等于三角形面积的2倍。

### 4.3 梯形的面积

*   **公式：** 面积=（上底+下底）×高÷2  （S=(a+b)h÷2）
*   **推导：** 两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的面积等于梯形面积的2倍。

### 4.4 组合图形的面积

*   **方法：**
    *   分割法：将组合图形分割成几个基本图形，分别计算面积，再相加。
    *   添补法：将组合图形添补成一个基本图形，计算出整体的面积，再减去添补部分的面积。
*   **注意：** 要根据图形的特点选择合适的方法，尽可能选择简便的方法。

### 4.5 不规则图形的面积

*   **方法：**
    *   数格法：将图形放在方格纸上，数出完整的格数和不满一格的格数，估算总面积。
    *   转化法：将不规则图形转化成近似的规则图形，计算面积。
*   **注意：** 估算时，要尽量使误差减小。

# 《五上数与代数思维导图》 ## 一、小数乘法 ### 1.1 小数乘整数 * **意义：** 与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。 * **计算方法：** * 先把小数扩大成整数。 * 按整数乘法计算。 * 看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 * **注意点：** * 积的小数位数不够时，要在前面用0补足。 * 积的小数部分末尾有0时，要把0去掉，化简。 ### 1.2 小数乘小数 * **意义：** 求一个数的几分之几是多少。 * **计算方法：** * 先把小数扩大成整数。 * 按整数乘法计算。 * 看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 * **注意点：** * 小数乘小数，积不一定比因数大，例如：0.5×0.8=0.4，0.4 < 0.5, 0.4 < 0.8。 * 注意末尾的“0”要划掉。 * 位数不够，需要用“0”占位。 ### 1.3 积的近似数 * **方法：** 先算出准确值，再按要求用“四舍五入”法取近似值。 * **精确度：** 精确到十分位，表示保留一位小数；精确到百分位，表示保留两位小数；精确到千分位，表示保留三位小数。 * **注意点：** 保留近似值时，小数末尾的“0”不能去掉。 ### 1.4 连乘、乘加、乘减 * **运算顺序：** 与整数的运算顺序相同。先乘除，后加减，有括号的先算括号里面的。 * **简便计算：** 乘法运算定律同样适用于小数。 * 乘法交换律：a×b=b×a * 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) * 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c * **解题思路：** 分析数量关系，列综合算式。 ## 二、小数除法 ### 2.1 除数是整数的小数除法 * **计算方法：** * 按照整数除法的方法去除。 * 商的小数点要和被除数的小数点对齐。 * 如果除到末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。 * **注意点：** 被除数的整数部分不够除，商0，点上小数点。 ### 2.2 除数是小数的小数除法 * **计算方法：** * 先把除数扩大成整数。 * 被除数也同时扩大相同的倍数（位数不够时，用0补足）。 * 按照除数是整数的小数除法的方法进行计算。 * **注意点：** 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位，位数不够时，用0补足。 ### 2.3 商的近似数 * **方法：** 根据需要保留的位数，计算时多除一位，然后按照“四舍五入”法取近似值。 * **应用：**解决实际问题时，根据实际情况取商的近似值，如“进一法”和“去尾法”。 * “进一法”：即使余数很小，也要向前一位进1。适用于需要满足数量要求的实际问题，例如：装东西需要几个箱子。 * “去尾法”：即使余数很大，也要舍去。适用于需要保证质量要求的实际问题，例如：做衣服需要多少布料。 ### 2.4 循环小数 * **定义：** 一个数的小数部分，从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 * **循环节：** 循环小数中依次不断重复出现的数字叫做循环节。 * **简便写法：** 循环小数的简便写法是在第一个循环节的首位和末位上面各记一个小圆点。也可以写出两个或三个循环节，然后加上省略号。 * **有限小数：** 小数的位数是有限的。 * **无限小数：** 小数的位数是无限的。无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数。 * **区别：** 循环小数一定是无限小数，但无限小数不一定是循环小数。 ### 2.5 用计算器探索规律 * **步骤：** 用计算器计算，观察结果，寻找规律，应用规律解决问题。 ## 三、简易方程 ### 3.1 用字母表示数 * **意义：** 可以简明地表达数量关系、运算定律和计算公式。 * **写法：** * 字母与数字相乘，可以省略乘号，数字在前，字母在后。 * 当数字是1时，1可以省略，但字母不能省略。 * 加法、减法、除法不能省略运算符号。 * **应用：** * 表达数量关系。 * 表达计算公式。 * 表达运算定律。 ### 3.2 方程的意义 * **定义：** 含有未知数的等式，叫做方程。 * **等式：** 表示相等关系的式子。 * **关键点：** 必须是等式，必须含有未知数。 * **方程一定是等式，但等式不一定是方程。** ### 3.3 等式的性质 * **性质一：** 等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 * **性质二：** 等式两边同时乘或除以同一个非零的数，所得结果仍然是等式。 ### 3.4 解方程 * **定义：** 求方程的解的过程叫做解方程。 * **方程的解：** 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 * **方法：** * 利用等式的性质，把方程转化成x=a的形式。 * 注意检验。 ### 3.5 列方程解决问题 * **步骤：** * 1. 弄清题意，找出未知数，并用x表示。 * 2. 找出等量关系，列出方程。 * 3. 解方程。 * 4. 检验，写答。 * **关键：** 找到等量关系。 * **类型：** * 和倍问题：设较小量为x，则较大量为ax，和为x+ax=b。 * 差倍问题：设较小量为x，则较大量为ax，差为ax-x=b。 * 一般应用题：根据题意找到等量关系列方程。 * **检验方法：** * 代入方程检验：看求出的未知数的值是否是方程的解。 * 代入原题检验：看求出的未知数的值是否符合题意。 ### 3.6 实际应用 * **行程问题：** 速度×时间=路程 * **工程问题：** 工作效率×工作时间=工作总量 * **购物问题：** 单价×数量=总价 ## 四、多边形的面积 ### 4.1 平行四边形的面积 * **公式：** 面积=底×高（S=ah） * **推导：** 通过剪拼，将平行四边形转化为长方形，长方形的面积等于平行四边形的面积，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。 ### 4.2 三角形的面积 * **公式：** 面积=底×高÷2 （S=ah÷2） * **推导：** 两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的面积等于三角形面积的2倍。 ### 4.3 梯形的面积 * **公式：** 面积=（上底+下底）×高÷2 （S=(a+b)h÷2） * **推导：** 两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的面积等于梯形面积的2倍。 ### 4.4 组合图形的面积 * **方法：** * 分割法：将组合图形分割成几个基本图形，分别计算面积，再相加。 * 添补法：将组合图形添补成一个基本图形，计算出整体的面积，再减去添补部分的面积。 * **注意：** 要根据图形的特点选择合适的方法，尽可能选择简便的方法。 ### 4.5 不规则图形的面积 * **方法：** * 数格法：将图形放在方格纸上，数出完整的格数和不满一格的格数，估算总面积。 * 转化法：将不规则图形转化成近似的规则图形，计算面积。 * **注意：** 估算时，要尽量使误差减小。

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