《人教版初中数学方程与函数思维导图》

一、方程

1. 一元一次方程

• 概念:

  • 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程
  • 标准形式：ax + b = 0 (a≠0)

• 解法：

  • 移项
  • 合并同类项
  • 系数化为1
  • 注意符号变化

• 应用：

  • 列方程解应用题
    • 审题
    • 设未知数
    • 找等量关系
    • 列方程
    • 解方程
    • 检验
    • 写答案
  • 常见题型：行程问题、工程问题、利润问题、分配问题、比例问题、数字问题等

• 例题：

  • 解方程：3x + 5 = 8
  • 甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲的速度是乙的速度的2倍，经过2小时相遇，A、B两地相距120千米，求甲乙两人的速度。

2. 二元一次方程组

• 概念:

  • 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的方程组

  • 标准形式：

    ax + by = c dx + ey = f

• 解法：

  • 代入消元法：将一个方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
  • 加减消元法：通过将两个方程的系数进行适当的变形，使其中一个未知数的系数相同或互为相反数，然后将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。

• 应用：

  • 列二元一次方程组解应用题
    • 审题
    • 设两个未知数
    • 找两个等量关系
    • 列方程组
    • 解方程组
    • 检验
    • 写答案
  • 常见题型：行程问题、利润问题、配套问题、数字问题等

• 例题：

  • 解方程组：

    x + y = 5 2x - y = 1

  • 买苹果和梨共用去100元，其中苹果每千克8元，梨每千克6元，已知买苹果的钱数比买梨的钱数多10元，求苹果和梨各买了多少千克？

3. 一元二次方程

• 概念:

  • 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程
  • 标准形式：ax² + bx + c = 0 (a≠0)

• 解法：

  • 直接开平方法：适用于形如 (x+m)² = n (n≥0) 的方程
  • 配方法：通过配方将方程化为 (x+m)² = n (n≥0) 的形式
  • 公式法：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
    • 判别式：Δ = b² - 4ac
      • Δ > 0：有两个不相等的实数根
      • Δ = 0：有两个相等的实数根
      • Δ < 0：没有实数根
  • 因式分解法：将方程分解成 (x+m)(x+n) = 0 的形式

• 根与系数的关系（韦达定理）：

  • x₁ + x₂ = -b/a
  • x₁x₂ = c/a

• 应用：

  • 列一元二次方程解应用题
    • 审题
    • 设未知数
    • 找等量关系
    • 列方程
    • 解方程
    • 检验
    • 写答案
  • 常见题型：增长率问题、面积问题、平均变化率问题、几何问题等

• 例题：

  • 解方程：x² - 5x + 6 = 0
  • 某商品经过两次降价，每次降价的百分率都相同，已知原价为100元，降价后的价格为81元，求每次降价的百分率。

二、函数

1. 函数的概念与表示

• 概念:

  • 设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

• 表示方法：

  • 解析式法（公式法）：用数学公式来表示函数关系
  • 列表法：将自变量与函数对应的值列成表格来表示函数关系
  • 图像法：用坐标系中的图像来表示函数关系

• 定义域：

  • 自变量x的取值范围

• 值域：

  • 函数y的取值范围

2. 一次函数

• 概念：

  • 形如 y = kx + b (k≠0) 的函数
  • k：斜率，影响函数的增减性
    • k > 0：y随x增大而增大，函数图像上升
    • k < 0：y随x增大而减小，函数图像下降
  • b：y轴截距，函数图像与y轴的交点坐标

• 图像：

  • 直线

• 性质：

  • 当k > 0时，y随x的增大而增大
  • 当k < 0时，y随x的增大而减小
  • 特殊的一次函数：正比例函数 y = kx (b=0)

• 应用：

  • 解决实际问题，例如：行程问题、费用问题等

• 例题：

  • 已知一次函数 y = 2x + 3，求当 x = 1 时，y 的值。
  • 判断点 (1, 5) 是否在一次函数 y = 3x + 2 的图像上。

3. 反比例函数

• 概念：

  • 形如 y = k/x (k≠0) 的函数

• 图像：

  • 双曲线，分别位于第一、三象限(k>0) 或第二、四象限(k<0)

• 性质：

  • 当 k > 0 时，在每个象限内，y随x的增大而减小
  • 当 k < 0 时，在每个象限内，y随x的增大而增大
  • 图像关于原点对称

• 应用：

  • 解决实际问题，例如：面积一定时，长与宽的关系

• 例题：

  • 已知反比例函数 y = 6/x，求当 x = 2 时，y 的值。
  • 判断点 (3, 2) 是否在反比例函数 y = 6/x 的图像上。

4. 二次函数

• 概念：

  • 形如 y = ax² + bx + c (a≠0) 的函数

• 图像：

  • 抛物线

• 性质：

  • a > 0：开口向上，有最小值
  • a < 0：开口向下，有最大值
  • 对称轴：x = -b / 2a
  • 顶点坐标：(-b / 2a, (4ac - b²) / 4a)
  • 与x轴的交点：令 y = 0，解方程 ax² + bx + c = 0，得到 x₁ 和 x₂，则交点坐标为 (x₁, 0) 和 (x₂, 0)

• 解析式：

  • 一般式：y = ax² + bx + c
  • 顶点式：y = a(x - h)² + k，其中 (h, k) 为顶点坐标
  • 交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂)，其中 x₁ 和 x₂ 是与x轴的交点的横坐标

• 应用：

  • 解决实际问题，例如：最值问题、抛物线运动问题

• 例题：

  • 已知二次函数 y = x² - 4x + 3，求其顶点坐标和对称轴。
  • 求二次函数 y = x² - 4x + 3 与 x 轴的交点坐标。

三、方程与函数的关系

• 联系：

  • 函数可以看作是方程的推广，方程是函数的特殊情况
  • 方程的解可以看作是函数图像与x轴的交点的横坐标

• 应用：

  • 利用函数图像解方程
  • 利用方程解决函数问题

• 重要思想：

  • 数形结合思想

• 例题：

  • 利用 y = x² - 4x + 3 的图像，解方程 x² - 4x + 3 = 0。
  • 已知直线 y = x + 1 与抛物线 y = x² + ax + b 相交于点 (1, 2)，求a,b 的值。