《七年级下册数学相交线与平行线思维导图》

中心主题：相交线与平行线

一级分支：一、相交线

• 1.1 对顶角

  • 定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
  • 性质：对顶角相等。
  • 注意：对顶角一定是两个角，且有公共顶点，没有公共边的两个角不一定是对顶角。
  • 例题：已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，则∠AOC的对顶角是( )度。

• 1.2 邻补角

  • 定义：一条直线上的一个顶点，在顶点两旁有两个角，这两个角叫做互为邻补角。
  • 性质：邻补角互补，即两个邻补角的和等于180°。
  • 注意：邻补角是具有公共顶点且有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角。
  • 例题：一个角的邻补角是130°，则这个角是多少度？

• 1.3 垂线

  • 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
  • 符号：⊥
  • 性质：
    • 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
    • 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。（垂线段最短）
  • 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
  • 注意：垂线段与距离的区别。
  • 例题：如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，则图中与∠COE互余的角有几个？

• 1.4 同位角、内错角、同旁内角

  • 前提：两条直线被第三条直线所截。
  • 同位角：都在截线的同一侧，被截线的同一方。
  • 内错角：都在两条直线之间，位于截线的两侧。
  • 同旁内角：都在两条直线之间，位于截线的同侧。
  • 寻找方法：利用“F”、“Z”、“U”字形模型辅助判断。
  • 例题：指出下图中所有的同位角、内错角、同旁内角。

一级分支：二、平行线

• 2.1 平行线的定义及表示

  • 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
  • 表示： AB∥CD
  • 注意：平行线的前提是在同一平面内。
  • 例题：判断下列说法是否正确：
    • (1)不相交的两条直线一定是平行线。 ( )
    • (2)在同一平面内，不相交的两条线段是平行线。 ( )

• 2.2 平行公理及其推论

  • 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
  • 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（平行于同一条直线的两条直线平行）
  • 例题：已知a∥b，b∥c，则a与c的关系是？

• 2.3 平行线的判定

  • 1. 同位角相等，两直线平行。
  • 2. 内错角相等，两直线平行。
  • 3. 同旁内角互补，两直线平行。
  • 简单记法：“同位角相等”、“内错角相等”、“同旁内角互补”，则“两直线平行”。
  • 注意：判定平行线，必须有角的关系。
  • 例题：如图，∠1 = 50°，∠2 = 50°，∠3 = 130°。
    • (1) ∠1和∠2是不是同位角？它们所成的两条直线a和b平行吗？
    • (2) ∠2和∠3是不是同旁内角？它们所成的两条直线b和c平行吗？
    • (3) a和c平行吗？为什么？

• 2.4 平行线的性质

  • 1. 两直线平行，同位角相等。
  • 2. 两直线平行，内错角相等。
  • 3. 两直线平行，同旁内角互补。
  • 简单记法：“两直线平行”，则“同位角相等”、“内错角相等”、“同旁内角互补”。
  • 注意：性质是已知平行，得角的关系。
  • 例题：如图，AB∥CD，∠1 = 60°，求∠2的度数。

• 2.5 平移

  • 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
  • 平移的要素：平移的方向和平移的距离。
  • 平移的性质：
    • 平移不改变图形的形状和大小。
    • 对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等。
    • 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。
    • 对应角相等。
  • 平移作图：关键是确定对应点。
  • 应用：设计图案。
  • 例题：下列现象中，属于平移的是（ ）
    • A. 小鸟在空中飞行
    • B. 电梯的上下移动
    • C. 钟摆的摆动
    • D. 荡秋千

一级分支：三、综合应用

• 3.1 角平分线、垂直、平行线的综合运用

  • 解题思路：灵活运用角平分线的定义、垂直的定义、平行线的判定和性质，将角的关系和线段的关系联系起来。
  • 常见题型：证明角相等、证明线平行、求角度。
  • 注意辅助线的添加，例如作平行线，延长线段等。
  • 例题：如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，求∠BED的度数。

• 3.2 构造平行线

  • 解题策略：当题设条件不足以直接应用平行线的判定和性质时，可以通过构造平行线来转化角的关系。
  • 常用方法：过一点作已知直线的平行线。
  • 例题：如图，AB∥CD，试探究∠APC, ∠PAB, ∠PCD之间的关系。

• 3.3 数形结合思想的应用

  • 利用图形的直观性，结合数量关系，分析问题，解决问题。
  • 例如：利用平行线的性质，将角的度数表示出来，再利用方程的思想求解。

• 3.4 分类讨论思想的应用

  • 当题目中没有明确给出图形的位置关系时，需要分情况讨论，例如：两条直线的位置关系，点在线段上的位置等。

总结：

本章主要学习了相交线产生的各种角的关系，以及平行线的判定和性质，要熟练掌握这些基本概念和性质，并能灵活运用它们解决实际问题。重点在于理解平行线的判定和性质之间的关系，以及角平分线、垂直、平行线的综合运用。要注意数形结合思想和分类讨论思想的应用，提高解题能力。