《小数运算思维导图》

一、小数的意义与性质

1.1 小数的意义

• 定义： 将整数“1”平均分成10份、100份、1000份……，这样的一份或几份可以用小数表示。
• 计数单位： 十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……
• 数位： 整数部分、小数点、小数部分。小数部分从小数点起依次是十分位、百分位、千分位……
• 读法： 整数部分按整数读法读，小数点读作“点”，小数部分依次读出每个数字。
• 写法： 先写整数部分，然后在个位右下角点上小数点，最后依次写出小数部分的每个数字。

1.2 小数的性质

• 基本性质： 小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
• 作用：
  • 化简小数：将小数末尾的“0”去掉，使其表达更简洁。
  • 改写小数：根据需要在小数末尾添“0”，使其位数统一，方便比较大小和计算。
• 小数点移动的规律：
  • 小数点向右移动一位，小数扩大到原来的10倍。
  • 小数点向右移动两位，小数扩大到原来的100倍。
  • 小数点向右移动三位，小数扩大到原来的1000倍。
  • 小数点向左移动一位，小数缩小到原来的1/10。
  • 小数点向左移动两位，小数缩小到原来的1/100。
  • 小数点向左移动三位，小数缩小到原来的1/1000。

1.3 小数的大小比较

• 方法：
  1. 先比较整数部分，整数部分大的小数就大。
  2. 如果整数部分相同，就比较十分位，十分位大的小数就大。
  3. 如果十分位相同，就比较百分位，百分位大的小数就大。
  4. 以此类推，直到比较出大小。
• 注意： 位数不同的小数，可以先根据小数的性质，在位数少的小数末尾添“0”，使其位数相同，再进行比较。

1.4 小数的改写与近似数

• 改写： 将较大的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。方法是小数点向左移动相应的位数，并添加单位。注意：如果要求保留指定位数的小数，需要四舍五入。
• 近似数：
  • 精确度： 表示近似数与准确数的接近程度。精确度越高，近似数就越接近准确数。
  • 四舍五入法： 根据要求保留的小数位数，看下一位数字，如果大于或等于5，就向前一位进1；如果小于5，就舍去。
  • 去尾法： 无论要舍去的尾数是多少，都直接舍去。通常用于实际问题中，确保结果够用。
  • 进一法： 无论要舍去的尾数是多少，都向前一位进1。通常用于实际问题中，确保结果够用。

二、小数加减法

2.1 竖式计算

• 法则：
  1. 小数点对齐，也就是相同数位对齐。
  2. 从低位算起，按照整数加减法的计算方法进行计算。
  3. 结果的小数点要与加数或减数的小数点对齐。
• 注意：
  • 如果小数位数不同，可以在小数末尾添“0”补齐，再进行计算。
  • 计算结果能化简的要化简。
• 验算： 加法用减法验算，减法用加法验算。

2.2 简便计算

• 加法运算定律：
  • 加法交换律： a + b = b + a
  • 加法结合律： (a + b) + c = a + (b + c)
• 减法运算性质：
  • a - b - c = a - (b + c)
  • a - (b - c) = a - b + c
• 方法：
  • 观察算式，找出可以凑整的数，利用加法运算定律和减法运算性质进行简便计算。
  • 注意：在进行简便计算时，要确保运算顺序正确。

2.3 解决问题

• 审题： 认真阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。
• 分析： 分析数量关系，找出解题思路。可以画线段图辅助分析。
• 列式： 根据数量关系，列出算式。
• 计算： 认真计算，确保结果正确。
• 检验： 检查计算过程和结果是否正确，是否符合题意。
• 作答： 写出答案，并进行必要的说明。

三、小数乘法

3.1 竖式计算

• 法则：
  1. 按照整数乘法的计算方法进行计算。
  2. 确定积的小数位数：看因数中一共有几位小数，积就有几位小数。
  3. 从积的右边起数出相应位数，点上小数点。
• 注意：
  • 计算时，可以先将小数看作整数进行计算，最后再点小数点。
  • 如果积的末尾有“0”，要先点小数点，再去掉末尾的“0”。
• 因数与积的关系：
  • 一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大。
  • 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。
  • 一个数（0除外）乘等于1的数，积等于原来的数。

3.2 简便计算

• 乘法运算定律：
  • 乘法交换律： a × b = b × a
  • 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
  • 乘法分配律： (a + b) × c = a × c + b × c
• 方法：
  • 观察算式，找出可以凑整的数，利用乘法运算定律进行简便计算。
  • 注意：在进行简便计算时，要确保运算顺序正确。

3.3 解决问题

• 常见应用： 单价×数量=总价；速度×时间=路程；工作效率×工作时间=工作总量
• 方法与小数加减法类似，关键在于审题和分析数量关系。

四、小数除法

4.1 除数是整数的小数除法

• 法则：
  1. 按照整数除法的计算方法进行计算。
  2. 商的小数点要与被除数的小数点对齐。
  3. 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”继续除。
• 注意：
  • 如果被除数的整数部分不够除，商0，点上小数点。
  • 除的过程中，每次除得的余数都要比除数小。

4.2 除数是小数的小数除法

• 法则：
  1. 先将除数的小数点向右移动，使它变成整数。
  2. 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足）。
  3. 按照除数是整数的小数除法的计算方法进行计算。
• 注意：
  • 移动小数点时，一定要数清楚位数，确保移动正确。
  • 除的过程中，如果不够除，要商“0”占位。

4.3 商的近似数

• 方法： 用四舍五入法取商的近似数。
• 步骤：
  1. 先计算出商，多除一位。
  2. 根据要求保留的小数位数，用四舍五入法取近似数。
• 注意： 在解决实际问题时，有时需要用“进一法”或“去尾法”取近似数。

4.4 循环小数

• 定义： 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
• 循环节： 循环小数中重复出现的数字叫做循环节。
• 简写： 循环小数可以简写，只写一个循环节，并在循环节的首位和末位上面点上圆点。
• 有限小数： 小数部分的位数是有限的。
• 无限小数： 小数部分的位数是无限的。
• 循环小数是无限小数，无限小数不一定是循环小数。

4.5 解决问题

• 常见应用： 总价÷数量=单价；路程÷时间=速度；工作总量÷工作时间=工作效率
• 方法与小数加减法类似，关键在于审题和分析数量关系。
• 注意： 很多实际问题需要根据具体情况，用“进一法”或“去尾法”取近似数。 例如，装东西需要几个箱子，通常用进一法；做衣服的布料最多能做几件衣服，通常用去尾法。

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