《认识三角形四边形的思维导图》
一、三角形
1. 定义：
- 概念： 由三条线段围成的封闭图形。
- 要素： 三条边、三个角、三个顶点。
- 表示： 用三个顶点的大写字母表示，如△ABC。
2. 分类：
- 按角分：
- 锐角三角形： 三个角都是锐角（小于90°）。
- 直角三角形： 有一个角是直角（等于90°）。
- 性质： 两锐角互余（和为90°）。
- 特殊名称： 直角边、斜边。
- 勾股定理： a² + b² = c² (a,b为直角边，c为斜边)。
- 钝角三角形： 有一个角是钝角（大于90°小于180°）。
- 按边分：
- 不等边三角形： 三条边长度都不相等。
- 等腰三角形： 有两条边长度相等。
- 腰： 相等的两条边。
- 底边： 另一条边。
- 顶角： 两腰的夹角。
- 底角： 底边上的两个角。
- 性质： 两底角相等。
- 三线合一： 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
- 等边三角形： 三条边都相等。
- 性质： 三个角都等于60°。
- 也是等腰三角形的特例。
3. 重要性质：
- 三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180°。
- 三角形的外角性质：
- 一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
- 一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
- 三角形的边长关系：
- 两边之和大于第三边。
- 两边之差小于第三边。
4. 面积计算：
- 通用公式： 面积 = 1/2 底 高 (S = 1/2 b h)
- 海伦公式： 面积 = √(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中p = (a+b+c)/2, a, b, c为三边长。
- 直角三角形： 面积 = 1/2 直角边1 直角边2 (S = 1/2 a b)
5. 重要线段：
- 高： 从顶点到对边(或对边延长线)的垂线段。
- 中线： 连接顶点和对边中点的线段。
- 角平分线： 平分三角形内角的线段。
- 三角形的重心： 三条中线的交点。
- 性质：重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
- 三角形的垂心： 三条高的交点。
- 三角形的内心： 三条角平分线的交点。
- 是三角形内切圆的圆心。
- 三角形的外心： 三条边垂直平分线的交点。
- 是三角形外接圆的圆心。
二、四边形
1. 定义：
- 概念： 由四条线段围成的封闭图形。
- 要素： 四条边、四个角、四个顶点。
- 内角和： 四个内角的和等于360°。
2. 分类：
- 任意四边形： 没有特殊性质的四边形。
- 梯形： 只有一组对边平行的四边形。
- 腰： 不平行的两边。
- 底： 平行的两边。
- 高： 两底之间的距离。
- 中位线： 连接两腰中点的线段。
- 性质：平行于上下底，且等于上下底和的一半。
- 等腰梯形： 两腰相等的梯形。
- 性质：同一底上的两个角相等。
- 对角线相等。
- 直角梯形： 有一个角是直角的梯形。
- 平行四边形： 两组对边分别平行的四边形。
- 性质：
- 对边平行且相等。
- 对角相等。
- 邻角互补。
- 对角线互相平分。
- 性质：
- 矩形： 有一个角是直角的平行四边形。
- 性质：
- 具有平行四边形的所有性质。
- 四个角都是直角。
- 对角线相等。
- 性质：
- 菱形： 有一组邻边相等的平行四边形。
- 性质：
- 具有平行四边形的所有性质。
- 四条边都相等。
- 对角线互相垂直平分。
- 对角线平分一组对角。
- 性质：
- 正方形： 有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形。（也可以说：有一个角是直角的菱形，或有一组邻边相等的矩形）
- 性质：
- 具有矩形和菱形的所有性质。
- 四条边都相等。
- 四个角都是直角。
- 对角线相等且互相垂直平分。
- 对角线平分一组对角。
- 性质：
3. 面积计算：
- 平行四边形： 面积 = 底 高 (S = b h)
- 矩形： 面积 = 长 宽 (S = l w)
- 菱形： 面积 = 底 高 (S = b h) 或 面积 = 1/2 对角线1 对角线2 (S = 1/2 d1 d2)
- 正方形： 面积 = 边长 边长 (S = a²) 或 面积 = 1/2 对角线 对角线 (S = 1/2 d²)
- 梯形： 面积 = 1/2 (上底 + 下底) 高 (S = 1/2 (a + b) h)
4. 特殊关系：
- 正方形 ⊆ 矩形 ⊆ 平行四边形 ⊆ 四边形
- 正方形 ⊆ 菱形 ⊆ 平行四边形 ⊆ 四边形
- 平行四边形 ⊆ 四边形
- 梯形 ⊆ 四边形