《小数乘法思维导图五上》
一、小数乘法的意义
1.1 整数乘法的意义推广
- 整数乘法的意义： 表示几个相同加数的和的简便运算。
- 小数乘整数的意义： 与整数乘法的意义相同，也是求几个相同加数的和的简便运算。例如：2.5 × 3 表示 3 个 2.5 的和是多少。
- 小数乘小数的意义： 可以理解为求一个数的几分之几是多少。例如：1.5 × 0.8 表示 1.5 的十分之八是多少。
1.2 不同情况下的意义理解
- 大于1的小数乘法: 扩大了被乘数。如：2.5 × 1.2，结果大于 2.5。
- 小于1的小数乘法: 缩小了被乘数。如：2.5 × 0.8，结果小于 2.5。
- 等于1的小数乘法: 等于被乘数。如：2.5 × 1 = 2.5。
二、小数乘法的计算法则
2.1 计算步骤
- 转化： 将小数乘法转化为整数乘法。
- 确定因数的小数位数，忽略小数点。
- 按照整数乘法法则进行计算。
- 确定小数点位置： 看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
- 因数共有的小数位数之和 = 积的小数位数。
- 化简： 积的小数部分末尾有0的，要去掉，将结果化简。
2.2 注意事项
- 数位对齐： 按照整数乘法计算时，末位对齐。
- 小数点移动： 移动小数点只是为了方便计算，实际的数值大小并没有改变。
- 末尾的0： 计算结束后，注意化简，去掉末尾的0。
- 位数不够： 如果积的小数位数不够，需要在前面用0补足。
- 估算： 在计算前进行估算，可以帮助我们检查结果的合理性。
三、积的变化规律
3.1 基本规律
- 一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。
- 例如：
- 3.2 × 5 = 16
- 3.2 × 50 = 160 (扩大10倍)
- 3.2 × 0.5 = 1.6 (缩小10倍)
3.2 特殊情况
- 一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大。
- 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。
- 一个数（0除外）乘等于1的数，积等于原来的数。
3.3 灵活应用
- 可以利用积的变化规律进行简便计算。
- 可以解决一些实际问题，例如：单位换算。
四、小数乘法的简便计算
4.1 运算定律的应用
- 乘法交换律： a × b = b × a
- 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
- 乘法分配律： (a + b) × c = a × c + b × c 以及 a × c + b × c = (a + b) × c
- 减法的性质: a - b - c = a - (b+c)
4.2 常见简便计算的类型
- 凑整法： 利用乘法交换律和结合律，将两个数相乘凑成整十、整百、整千数。例如：2.5 × 0.4 = 1
- 分解法： 将一个数分解成两个数的和或差，然后利用乘法分配律进行计算。例如：1.25 × 8.8 = 1.25 × (8 + 0.8) = 1.25 × 8 + 1.25 × 0.8
- 提取公因数： 运用乘法分配律的逆运算。例如： 3.6 × 4.8 + 3.6 × 5.2 = 3.6 × (4.8 + 5.2)
4.3 注意事项
- 观察： 在进行简便计算前，要仔细观察算式，寻找简便计算的方法。
- 灵活： 不要局限于一种方法，要灵活运用各种运算定律。
- 准确： 保证每一步计算的准确性。
五、解决问题
5.1 常见题型
- 总价问题： 单价 × 数量 = 总价
- 行程问题： 速度 × 时间 = 路程
- 面积问题： 长 × 宽 = 面积 (长方形); 底 × 高 = 面积 (平行四边形)
- 其他问题： 需要根据题意分析数量关系，列出算式。
5.2 解题步骤
- 审题： 仔细阅读题目，理解题意。
- 分析： 分析题目中的数量关系，找到已知条件和所求问题。
- 列式： 根据数量关系列出算式。
- 计算： 计算出结果。
- 检验： 检验结果是否合理。
- 答题： 写出答案。
5.3 特殊情况
- 分段计费： 例如：出租车计费、水费计费等。需要根据不同的收费标准分段计算。
- 需要估算的题目： 估算可以帮助我们快速判断答案的范围，并检查计算结果是否合理。
六、总结
小数乘法是在整数乘法的基础上发展而来，掌握小数乘法的意义、计算法则、积的变化规律和简便计算方法，能够有效地解决生活中的实际问题。要注重培养观察、分析、解决问题的能力，并养成良好的计算习惯。