八上九单元数学导图
《八上九单元数学导图》
一、平方根
1.1 平方根的概念
- 定义：如果一个数x的平方等于a，即x² = a，那么x就叫做a的平方根。
- 表示方法：√a (a ≥ 0)
- 被开方数：a (必须是非负数)
- 平方运算与开平方运算互为逆运算。
1.2 算术平方根
- 定义：正数的正的平方根叫做算术平方根。0的算术平方根是0。
- 表示方法：√a (a ≥ 0)
- 双重非负性：被开方数a≥0，算术平方根√a≥0
1.3 平方根的性质
- 正数有两个平方根，它们互为相反数。
- 0只有一个平方根，是0。
- 负数没有平方根。
1.4 求平方根的方法
- 估算法： 通过估算逐步逼近平方根的值。
- 计算器法： 使用计算器直接求平方根。
- 查表法： 查平方根表获取近似值。
1.5 立方根
- 定义：如果一个数x的立方等于a，即x³ = a，那么x就叫做a的立方根。
- 表示方法：³√a
- 被开方数：a (可以是任意实数)
- 立方运算与开立方运算互为逆运算。
1.6 立方根的性质
- 任何实数都有唯一的立方根。
- 正数的立方根是正数。
- 0的立方根是0。
- 负数的立方根是负数。
二、实数
2.1 无理数
- 定义：无限不循环小数叫做无理数。
- 常见类型：
- 开方开不尽的数：如√2，³√5等。
- 圆周率π及与其相关的数：如π/2，2π等。
- 具有特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001... (相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
2.2 实数的概念
- 定义：有理数和无理数统称为实数。
- 分类：
- 按定义分：实数 { 有理数，无理数 }
- 按大小分：实数 { 正实数，0，负实数 }
2.3 实数的性质
- 实数与数轴上的点一一对应。
- 实数可以进行加、减、乘、除、乘方和开方运算。
- 实数之间可以比较大小。
2.4 在数轴上表示无理数
- 利用勾股定理构造直角三角形，将无理数转化为线段长度，然后在数轴上截取相应的线段。
2.5 实数的运算
- 实数的运算律、运算法则与有理数相同。
- 注意运算顺序：先乘方开方，再乘除，后加减。
三、位置的确定
3.1 平面直角坐标系
- 定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
- 横轴(x轴)：水平的数轴。
- 纵轴(y轴)：竖直的数轴。
- 原点(O)：两轴的交点，坐标为(0,0)。
- 象限：坐标轴把平面分成四个象限，按逆时针方向分别为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
3.2 点的坐标
- 表示方法：(x, y)
- x：横坐标，表示点到y轴的距离。
- y：纵坐标，表示点到x轴的距离。
- 各象限内点的坐标特征：
- 第一象限：x > 0, y > 0
- 第二象限：x < 0, y > 0
- 第三象限：x < 0, y < 0
- 第四象限：x > 0, y < 0
- 坐标轴上的点：
- x轴上：y = 0 (例如：(a, 0))
- y轴上：x = 0 (例如：(0, b))
- 特殊位置的点：
- 关于x轴对称：(x, y) 和 (x, -y)
- 关于y轴对称：(x, y) 和 (-x, y)
- 关于原点对称：(x, y) 和 (-x, -y)
3.3 确定位置的方法
- 用有序数对表示位置：(列数，行数)
- 用方向和距离表示位置。
- 用经纬度表示位置。
- 平面直角坐标系表示位置。
四、二元一次方程组
4.1 二元一次方程
- 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
- 一般形式：ax + by = c (a, b不同时为0)
4.2 二元一次方程组
- 定义：由两个含有相同未知数的二元一次方程组成的一组方程叫做二元一次方程组。
4.3 二元一次方程组的解
- 定义：使二元一次方程组的两个方程都成立的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
- 表示方法：{ x = a, y = b } (其中a, b为常数)
4.4 解二元一次方程组的方法
- 代入消元法：将一个方程中的未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，再代入到另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程求解。
- 加减消元法：通过方程变形，使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数，然后将两个方程相加或相减，消去这个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程求解。
4.5 二元一次方程组的应用
- 行程问题：路程 = 速度 × 时间
- 工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间
- 分配问题：弄清分配对象和分配方式。
- 数字问题：利用数字的特点建立方程。
- 利润问题：利润 = 售价 - 成本
五、一次函数
5.1 函数的概念
- 变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
- 常量：在一个变化过程中保持不变的量。
- 函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
5.2 函数的表示方法
- 解析式法：用含有自变量的代数式表示函数关系。
- 列表法：列出一些自变量与对应的函数值。
- 图像法：用图像表示函数关系。
5.3 一次函数的概念
- 定义：形如y = kx + b (k, b为常数，k ≠ 0)的函数叫做一次函数。
- k：斜率
- b：截距 (y轴上的交点)
- 正比例函数：当b = 0时，y = kx (k ≠ 0)叫做正比例函数。
5.4 一次函数的图像
- 图像：一条直线。
- 绘制方法：通常选取两个点(如与坐标轴的交点)来确定直线。
5.5 一次函数的性质
- k > 0时，y随x的增大而增大。 (图像从左到右上升)
- k < 0时，y随x的增大而减小。 (图像从左到右下降)
- b > 0时，图像与y轴交于正半轴。
- b < 0时，图像与y轴交于负半轴。
- b = 0时，图像经过原点。
5.6 一次函数的应用
- 解决实际问题：根据题意列出函数关系式，利用函数的性质解决问题。
- 数形结合：利用图像分析函数的变化趋势，解决相关问题。
- 分段函数：对于不同范围的自变量，函数表达式不同。
