初三圆的思维导图
《初三圆的思维导图》
一、圆的基本概念
1. 定义
- 圆的定义: 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
- 定点: 圆心 (通常用O表示)
- 定长: 半径 (通常用r表示)
2. 圆的表示
3. 圆的相关概念
- 弦: 连接圆上任意两点的线段。
- 直径: 通过圆心的弦，是圆中最长的弦。
- 弧: 圆上任意两点之间的部分。
- 优弧: 大于半圆的弧。
- 劣弧: 小于半圆的弧。
- 半圆: 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
- 圆心角: 顶点在圆心上的角。
- 圆周角: 顶点在圆上，且两边都和圆相交的角。
- 同圆或等圆: 半径相等的圆。
- 等弧: 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。
二、圆的性质
1. 圆的对称性
- 圆是轴对称图形: 有无数条对称轴，每一条经过圆心的直线都是对称轴。
- 圆是中心对称图形: 圆心是它的对称中心。
2. 垂径定理及其推论
- 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
- 推论1: 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
- 推论2: 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
- 推论3: 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦。
- 应用:
- 求弦长、半径、圆心到弦的距离。
- 证明线段相等、角相等、垂直关系。
3. 圆心角、弧、弦的关系
- 定理: 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
- 推论: 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等。
4. 圆周角定理及其推论
- 圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
- 推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。
- 推论2: 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
- 推论3: 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
三、直线与圆的位置关系
1. 位置关系及判断
- 相交: 直线与圆有两个公共点。
- 相切: 直线与圆只有一个公共点。
- 相离: 直线与圆没有公共点。
- 判断方法: 比较圆心到直线的距离 (d) 与半径 (r) 的大小关系：
- d < r 直线与圆相交
- d = r 直线与圆相切
- d > r 直线与圆相离
2. 切线的判定与性质
- 切线的判定定理: 经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
- 切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径。
- 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
3. 切线的画法
- 已知切点: 过已知切点作半径，再过切点作垂直于半径的直线。
- 已知直线: 过圆心作直线的垂线，垂足为切点，过切点作垂直于半径的直线。
- 已知圆外一点: 连接圆心与已知点，作线段的垂直平分线，交线段于一点，以该点为圆心，以圆心到圆外点的距离的一半为半径画弧，交圆于切点，连接圆外点与切点即为切线。
四、圆与圆的位置关系
1. 位置关系及判断
- 外离: 两圆没有公共点，圆心距大于两圆半径之和。
- 外切: 两圆只有一个公共点，圆心距等于两圆半径之和。
- 相交: 两圆有两个公共点，圆心距小于两圆半径之和，大于两圆半径之差的绝对值。
- 内切: 两圆只有一个公共点，圆心距等于两圆半径之差的绝对值。
- 内含: 两圆没有公共点，圆心距小于两圆半径之差的绝对值。
- 同心圆: 圆心相同，半径不同的圆。
2. 圆心距与半径的关系
- 设两圆半径分别为R和r (R≥r)，圆心距为d，则：
- 外离：d > R + r
- 外切：d = R + r
- 相交：R - r < d < R + r
- 内切：d = R - r
- 内含：d < R - r
五、正多边形与圆
1. 正多边形的定义
2. 正多边形与圆的关系
- 正多边形的外接圆: 经过正多边形各顶点的圆。
- 正多边形的内切圆: 与正多边形各边都相切的圆。
- 正多边形的中心: 正多边形外接圆的圆心。
- 正多边形的半径: 外接圆的半径。
- 正多边形的边心距: 中心到正多边形一边的距离。
- 正多边形的中心角: 正多边形每一边所对的圆心角。
六、弧长与扇形面积
1. 弧长公式
- 公式: l = (nπr) / 180 (n为圆心角，r为半径)
2. 扇形面积公式
- 公式: S = (nπr²) / 360 (n为圆心角，r为半径)
- 另一种表示: S = (1/2)lr (l为弧长，r为半径)
3. 圆锥的侧面积
- 圆锥侧面积: 圆锥的侧面展开图是扇形，因此圆锥的侧面积就是该扇形的面积。
- 公式: S = πrl (r为底面半径，l为母线长)
- 圆锥全面积: S = πrl + πr²
七、与圆有关的计算
- 周长、面积: 圆的周长 C = 2πr，圆的面积 S = πr²
- 阴影部分面积计算: 通过分割、组合、平移等方法，将不规则图形转化为规则图形进行计算。
- 综合应用: 将圆的性质、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识综合运用解决问题。
